7.4 标准电路模型

我们已经折腾了好几种推导交流等效电路的方法了——先是用电路平均法硬凑，又用状态空间法从数学上推导了一遍。现在让我们停下来，别急着往下算，先看看这些算出来的东西到底长什么样。

你会发现一件很有意思的事：所有 PWM CCM（连续导通模式）直流变换器的交流模型，长得惊人地相似。

这其实不是巧合。因为它们干的是同一份工作，只是具体实现（Buck、Boost 还是 Buck-Boost）不同而已。这一节，我们要做的就是给这些变换器画一张「标准照」——这就是标准电路模型。它能把所有这些变换器的物理特性抽象出来，让我们在分析系统动态时，不再纠结于「这个电感挂在那边还是那边」，而是直接看透它的本质。

7.4.1 拼装「标准模型」

我们要构建的这个标准模型，其实是把变换器内部的三个核心功能拆开，再重新拼成一个通用电路。这就像把变换器的「魂」给抽出来，放在三个盒子里。

我们先把这三个盒子找出来，一步步搭。

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第一个盒子：直流变压器

任何 CCM PWM 变换器的老本行就是电压/电流变换，理想情况下效率 100%，不消耗能量。

我们在第 3 章就见过这东西——它是一个理想直流变压器。 在标准模型里，它被画成一个变比为 1 : M(D) 的变压器。这里的 M(D) 就是那个我们在稳态分析里算烂了的转换比（比如 Buck 是 D，Boost 是 1/D'，Buck-Boost 是 -D/D'）。

这个变压器不仅管直流，也管交流。如果输入电压有个低频抖动 ${\hat{v}}_g(t)$，输出电压也会按比例抖动 $\hat{v}(t)$，比例还是 M(D)。这很直观——变压器不 care 是直流还是交流，只要频率别太高，它就按这个比律转。

⚠️ 这里有个坑： 这个变压器是「有效」的，不是说板子上真的有个磁芯线圈在那儿。它是为了建模用的，它的变比 M(D) 依赖于你的稳态占空比 D。你把 D 改了，这个变压器的变比也就跟着变了。

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第二个盒子：有效低通滤波器

变换器肯定得有储能元件（电感 L、电容 C）吧？它们的本职工作是滤除开关纹波，把那个锯齿波抹平成直流。

但在我们的小信号模型里，它们扮演了一个更微妙的角色：低通滤波器。 因为我们要滤除开关频率 $f_s$ 及其以上的高频分量，所以这个滤波器的截止频率必须设计得远低于 $f_s$。

在那个理想变压器后面，我们再挂一个「有效低通滤波器」。注意，这里加了两个字：「有效」。

这意味着：

1. 它不一定长得像你板子上的 LC 滤波器。比如在 Buck-Boost 里，实际电感 L 在模型里会变成 $L/D^{\prime 2}$。我们在下一节会看到这个变魔术的过程。
2. 它的参数会随工作点变。有效电感值、有效电容值，甚至传递函数 $H_e(s)$，都跟你的稳态占空比 D 有关。

这个滤波器决定了输入音频抑制比，也就是公式里的 $G_{vg}(s)$：

$$G_{vg}(s)=\frac{\hat{v}(s)}{{\hat{v}}_g(s)}=M(D)H_e(s)$$

这里的 $H_e(s)$ 就是这个有效滤波器的传递函数（带负载 R 的情况下）。

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第三个盒子：受控源（控制输入）

剩下的事儿就是控制了。我们动占空比 $\hat{d}(t)$，输出电压就得跟着动。

在上一节的模型里，你会发现 $\hat{d}(t)$ 激励出的电压源和电流源散落在电路各处，有的在输入侧，有的在输出侧，看着乱糟糟的。这对于做系统分析很不方便。

标准模型的做法是：把这些乱跑的源全部推到电路的左边（输入侧）。

为什么要推到左边？因为这样我们在计算控制到输出传递函数 $G_{vd}(s)$ 时，可以把它看作一个单一的输入源，配合那个理想变压器和滤波器一起分析。

经过一番电路变换（下一节会演示这步操作），我们可以把所有 $\hat{d}$ 相关的源合并成两个：

• 一个电压源 $e(s)\hat{d}(s)$
• 一个电流源 $j(s)\hat{d}(s)$

注意这里的 $e(s)$ 和 $j(s)$ 可能是频率相关的（即含有 $s$ 算子）。这很正常，因为在移动源的过程中，我们会碰到电感或电容，那就会引入微分项（$sL$ 或 $1/sC$）。

这时候，控制到输出的传递函数就一目了然了：

$$G_{vd}(s)=\frac{\hat{v}(s)}{\hat{d}(s)}=e(s)M(D)H_e(s)$$

你看，就是把控制源 $e(s)$，乘上变压器增益 $M(D)$，再乘上滤波器特性 $H_e(s)$。

把这三个盒子拼起来（变压器 + 滤波器 + 受控源），我们就得到了完整的标准电路模型。不管是 Buck、Boost 还是 Flyback，只要是 CCM PWM 变换器，最终都能化简成这副模样。

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附加：负载电流扰动

有时候我们还得关心负载阻抗的影响。比如负载突然跳变，输出电压会不会崩？

这可以在模型里加一个独立的电流源 ${\hat{i}}_{load}$ 在输出端来模拟。 模型里的负载 R 是增量电阻（也就是你在工作点处测出的斜率），而 ${\hat{i}}_{load}$ 是负载变化的交流分量。

这时候我们能算出输出阻抗 $Z_{out}(s)$：

$$Z_{out}(s)=-\frac{\hat{v}(s)}{{\hat{i}}_{load}(s)}=Z_{eo}(s)\parallel R$$

这一项决定了你的电源对负载变化的「硬度」—— $Z_{out}$ 越小，负载拉得动，输出电压波动越小。

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7.4.2 实战：把 Buck-Boost 模型掰成标准型

光说不练假把式。我们拿 Buck-Boost 举个例子，看看怎么把一个乱糟糟的等效电路（也就是 7.2 节推导出来的那个）一步步捏成标准型。

这一步是纯电路操作，如果你对电路变换（戴维宁、源位移、变压器折射）不熟，这里可能会有点头晕。跟着思路走就好，核心就是一句话：把所有 $\hat{d}$ 源往左推，把电感往右推。

原来的电路里有两个大麻烦：

1. 输入侧串联了一个 $(V_g-V)\hat{d}$ 电压源。
2. 输出侧并联了一个 $I\hat{d}$ 电流源。 还有两个变压器：一个 1:D，一个 D':1。

第一步：把源折算到变压器同侧 先把那个输入侧的电压源 $(V_g-V)\hat{d}$ 从电感左边挪到 1:D 变压器的初级（左边）。 根据变压器阻抗变换规则，电压从次级（右边）折算到初级（左边），电压要除以匝比（这里是 D）。所以我们得到一个 $(V_g-V)\hat{d}/D$ 的源。 同时，把输出侧那个 $I\hat{d}$ 电流源折算到 D':1 变压器的初级。电流从次级（右边）折算到初级（左边），要乘以匝比（这里是 1/D'$）。得到 $I\hat{d}/D^{\prime }$ 的电流源。 注意极性：变压器反向了，源的正负号也要跟着变。

第二步：把电流源挪过电感 现在的 $I\hat{d}/D$ 电流源还在节点 A 这边，我们想把它扔到最左边去。但中间隔着电感 L 和那个电压源，怎么办？

用节点分裂法。 我们把电流源的接地端断开，接到节点 A 上。为了让基尔霍夫电流定律（KCL）不被破坏，我们必须在 A 点到地之间再补一个一模一样的电流源。这样，流入 A 点的电流没变，电路方程成立。

第三步：合并成戴维宁等效 现在电感 L 和一个并联的电流源挨在一起。这可以化简成一个电压源串联电阻……哦不，是串联电感。 这就是经典的诺顿-戴维宁转换：

$$\text{Voltage}=(\text{Current Source})\times (\text{Impedance})$$

这里阻抗是 $sL$。 所以我们把 $I\hat{d}/D$ 的电流源并联电感 $L$，变成了一个电压源 $(sLI\hat{d})/D$ 串联电感 $L$。 注意这个新产生的电压源有个 $s$，意味着它是频率相关的——这正是我们要找的 $e(s)$ 的一部分！

第四步：继续推源 现在我们要把那个 $(I\hat{d})/D$ 的电流源推过 1:D 变压器。 推过变压器，电流要乘以匝比 D，变成 $I\hat{d}$。 同时，我们要把它推过那个 $(V_g-V)\hat{d}/D$ 的电压源。还是用节点分裂法：把它的接地端挪到节点 B，再补一个源接地。

第五步：终极整理 到了这一步，我们手里有：

• 左侧：一堆电压源和电流源。
• 中间：两个变压器 1:D 和 D':1。
• 右侧：串联了电压源的电感 $L$。

现在的目标是合并变压器。 我们可以把那个带有 $(sLI\hat{d})/D$ 的电感 $L$，从 D':1 变压器的初级折算到次级。 电感折算要乘以匝比的平方（这里是 $1/D^{\prime 2}$）。 所以，有效电感变成了：

$$L_{eff}=\frac{L}{D^{\prime 2}}$$

这就是为什么在 Buck-Boost 的标准模型里，电感值看起来变了。它不是物理电感变了，而是从数学上看，它表现出来的特性就像是 L 除以 D 的平方。这就是我们在上一小节提到的「有效低通滤波器参数随工作点变化」的具象化。

同时，那个 $(sLI\hat{d})/D^{\prime }$ 的电压源也要从次级折算回初级（除以 D），以便和左边的源合并。

最后，把左边的所有电压源加起来，把 1:D 和 D':1 两个变压器合体成一个 D':D 变压器。 大功告成，这就是标准电路模型。

验证一下结果 看最左边那个控制电压源 $e(s)\hat{d}$ 的系数 $e(s)$，它是由两部分组成的：

1. 来自原 $(V_g-V)$ 的项：$\frac{V_g-V}{D}$
2. 来自电感折算的项：$\frac{sLI}{D{D}^{\prime }}$

利用 Buck-Boost 的稳态关系（$V=-\frac{D}{D^{\prime }}{V}_g$ 和 $I=-\frac{V}{D^{\prime }R}$），你可以把上式化简成书上的公式 7.90：

$$e(s)=-\frac{V}{D^{\prime 2}}(1-\frac{sL}{D^{\prime }R})$$

这就非常清楚了。

• 前面的 $-\frac{V}{D^{\prime 2}}$ 是直流增益。
• 后面括号里的 $1-\frac{sL}{D^{\prime }R}$ 告诉我们，这个模型里有一个右半平面（RHP）零点！
• 零点位置 ${\omega }_z=\frac{D^{\prime }R}{L}$。

这就是标准模型的威力： 它不只给了你一个传递函数，它把这些复杂的变压器折射、电感等效、源位移操作全封装起来了。当你看到这个标准模型时，你一眼就能看出：哦，这是个 Buck-Boost，它肯定有个 RHP 零点，而且它的带宽会被这个零点狠狠地限制住。

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7.4.3 基本变换器的参数速查

对于绝大多数理想 CCM 变换器（只含一个 L、一个 C），那个「有效低通滤波器」其实就是个标准的二阶 LC 网络。

这时候，标准模型可以进一步简化。 这一节的书末尾通常会有个表格，列出了 Buck、Boost、Buck-Boost 的 $M(D)$、$e(s)$、$j(s)$ 以及 $L_{eff}$、$C_{eff}$ 的具体值。

那个表格是干嘛用的？ 是做「设计手册」的。 当你以后在设计反馈环路时（第 9 章），你不需要每次都重新推导一遍状态方程。你只需要查表：

• 你的变换器是什么拓扑？
• 你的工作点 D 是多少？
• 查表得到 $L_{eff}$ 和 $e(s)$ 的表达式。
• 代入数值，算出 $G_{vd}(s)$ 的极点和零点。

这就是工程师的捷径。我们理解了推导过程（为了不变成调参侠），但在实际干活时，我们用这个标准模型来提速。

到这里，关于变换器自身的交流建模就告一段落了。我们手里握着 $G_{vd}(s)$（控制到输出）和 $G_{vg}(s)$（输入到输出）这两把钥匙。下一步，我们要把这些模型塞进反馈环路里，去对付那个真正的 BOSS——闭环控制系统。

💡 标准模型的真正价值：很多人觉得「标准模型」只是教材里的花架子，实际干活时谁还手推 $e(s)$。但它的价值恰恰在于：它给了你一张「地形图」。当你拿到一个不熟悉的拓扑，只要先算出它的 $M(D)$、再判断它属不属基本型，就能立刻预判它有没有 RHP 零点、零点大致在哪个数量级、带宽能拉到哪——这些在调试一台抖个不停的电源时，远比一串精确的传递函数系数有用。标准模型不是让你算得更准，是让你判断得更快。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。