稳定性判据 | 硬件学习笔记

17.5 稳定性判据

到这里，我们已经把输入滤波器本身的拆解完了——怎么设计 LC 参数，怎么加阻尼，甚至怎么把两节滤波器级联起来省体积。

但别急着收工。

回过头看看我们在 17.2 节里提到的那个核心问题：加了这个滤波器，原本稳如老狗的电源系统会不会突然炸掉？

在此之前，我们一直是在用 Middlebrook 的附加元件定理（EET）来看问题。我们推导出了阻抗不等式，以此来确保滤波器不会显著改变变换器的 $G_{v d} (s)$ 等开环传递函数。这就像是在说：“只要我让滤波器的输出阻抗 $Z_{o}$ 足够小，它就听不见外面的噪音，也干扰不到里面的主人。”

这是一个极其有用的工程直觉，也是我们的设计准则。但说实话，这有点像只看静态参数——它并没有直接回答那个终极问题：闭环系统到底稳不稳？

阻抗不等式是保守的。即使你稍微违反了一点点，系统可能依然稳得很好；反之，即使你满足了不等式，如果闭环环路增益 $T (s)$ 的相位裕量不够，理论上还是可能出事。

所以，在这一节，我们要拿出“外科手术刀”来。不再只是“看阻抗”，而是直接把输入滤波器代入闭环系统，进行真正的稳定性判定。

我们有两条路可以走：

修正环路增益法（17.5.1）：直接画出包含滤波器影响后的新环路增益 $T^{'} (s)$ ，然后看幅频/相频曲线，算相位裕量。
阻抗比法（17.5.2）：构建一个“次级环路增益” $T_{m} (s) = Z_{o} (s) / Z_{i} (s)$ ，用奈奎斯特判据来看这个次级环路会不会引发振荡。

殊途同归，它们指向的是同一个物理真相。

17.5.1 修正相位裕量

第一种思路最直观：既然你加了滤波器，那原来的 $G_{v d} (s)$ 肯定变了，那整个系统的环路增益 $T (s)$ 自然也跟着变了。那我们就把新的 $T (s)$ 画出来，重新审视一下相位裕量。

让我们回到 17.3 节那个 Buck 变换器的例子。

无阻尼滤波器的“自杀式”袭击

我们先回到那个让人头皮发麻的场景：一个无阻尼的输入滤波器接入系统后，原本规整的控制-输出传递函数 $G_{v d}$ 发生了什么？

在 400 Hz（滤波器谐振频率）以下，一切安好。但一旦过了 400 Hz，相位突然掉了整整 360°！

这就是我们在 17.3 节里说过的“毛刺”和 RHP 零点在作祟。无阻尼的 LC 滤波器在这里严重违反了阻抗不等式。

这意味着什么？如果你的电压环带宽（crossover frequency $f_{c}$ ）很低，比如只有 100 Hz，那你根本看不到 400 Hz 处的相位暴跌。系统依然稳定，甚至感觉不到滤波器的存在。

这解释了为什么很多低带宽的老电源设计即使加了烂滤波器也能活着。

但如果你试图把带宽拉高到 400 Hz 或者更高——比如为了追求更快的动态响应——那你就完了。无阻尼滤波器会在穿越频率处给你来一个 -360° 的“相位暴击”。负相位裕量直接导致系统振荡炸机。

实战演练：带阻尼的 Buck 调节器

现在我们看一个设计正常的例子。还是那个 Buck 变换器，带 PID 补偿器（参考 9.5.4 节的设计），但这次我们给它配上一个正经的单节滤波器，加上 $R_{f} - C_{b}$ 阻尼网络。

电路结构没怎么变，关键点在于阻尼。

首先，我们还是用老规矩检查一下阻抗不等式。画出 $Z_{o}$ ，以及 $Z_{N}, Z_{D}, Z_{e}$ 这三条基准线。

看起来很漂亮。实线 $Z_{o}$ 的幅值在整个频段上都压在了虚线（ $Z_{N}$ 等）下面。虽然在 4 kHz（滤波器谐振）和 1 kHz（变换器输出滤波谐振）附近有点挨近，但总体守规矩。

既然满足不等式，那环路增益应该也没什么大问题。把加上滤波器前后的环路增益 $T (s)$ 叠在一起看。

实线是修正后的 $T$ ，虚线是原来的。你能看到变化吗？当然有。在 1 kHz 处，幅值和相位都被稍微拉下来了一点，因为那里 $Z_{o}$ 和 $Z_{D}$ 有点近。在 4 kHz 附近，相位曲线出现了一些波动，甚至引出了三个穿越频率。但总体来看，相位裕量依然是正的。系统稳如泰山。

这验证了我们之前的直觉：满足阻抗不等式，通常就意味着稳定性没问题。

故意搞破坏：当阻尼不足时发生什么？

为了证明这一点，我们来做一个“破坏实验”。我们把刚才那个例子的阻尼电阻 $R_{1}$ 从 1.7 Ω 改成 5.2 Ω，同时把 $C_{b}$ 缩水到 8 μF。这相当于故意让滤波器欠阻尼。

再看阻抗曲线。崩了。 $Z_{o}$ 的峰值（在 4 kHz 处）直接窜到了天上，狠狠地踩在 $Z_{N}$ 和 $Z_{D}$ 的头上。阻抗不等式被严重违反。

这时候再看环路增益。你会发现修正因子（Eq. 17.4）在 4 kHz 附近引入了一对极其麻烦的东西：谐振型的右半平面（RHP）零点，以及极点。这直接导致了在 7 kHz 的穿越频率处，相位疯狂滞后，相位裕量变成了负数。结论：系统崩溃。

这一段的结论非常硬核： 阻抗不等式（Eq. 17.19）是设计准则，它保证的是“不变性”——即传递函数不怎么变。而真正的稳定性边界，是由修正后的环路增益 $T^{'} (s)$ 的幅频相频特性决定的。

虽然两者高度相关（因为修正因子里的 $Z_{o} / Z_{D}$ 项直接影响环路增益），但在工程上，画一张环路增益的 Bode 图永远是最诚实的判决。

17.5.2 闭环输入阻抗与次级环路

刚才那种方法（修正 $T (s)$ ）很直接，但你需要把整个环路的模型重新跑一遍，有点像每次都要做一次全身体检。

有没有一种更“内视”的方法？有的。这就是第二种思路：把输入滤波器和变换器输入端看作是两个阻抗相互对抗的战场。

这个视角的转换非常精妙。它把问题转化为一个经典的负反馈稳定性问题。

核心机制：分压项的隐患

当输入滤波器（阻抗 $Z_{o}$ ）给变换器（输入阻抗 $Z_{i}$ ）供电时，它们之间构成了一个分压器：

\frac{Z_{i}}{Z_{i} + Z_{o}}

或者写成：

\frac{1}{1 + \frac{Z_{o} (s)}{Z_{i} (s)}}

你看这个分母： $1 + Z_{o} / Z_{i}$ 。是不是很像负反馈系统的特征方程 $1 + T (s)$ ？如果我们令 $T_{m} (s) = Z_{o} (s) / Z_{i} (s)$ ，那么这就变成了一个**“次级环路增益”**。

如果这个次级环路 $T_{m} (s)$ 不稳定，或者它的相位裕量不足，那么整个系统就会因为输入端口的阻抗相互作用而产生右半平面极点（RHP Poles）。这就是滤波器让系统炸机的另一种数学解释。

第一刀：解析修正后的闭环传函

为了把这个事情说透，我们需要像做手术一样，先把系统拆开。我们用 音频敏感度 $G_{v g} (s)$ （Audio Susceptibility，即 $\hat{v} / {\hat{v}}_{g}$ ）作为观察对象。

考虑包含滤波器和变换器的小信号模型。在没加滤波器时（ $Z_{o} = 0, H_{i} = 1$ ），根据反馈定理（Feedback Theorem），闭环音频敏感度是：

G_{v g} (s) = \frac{1}{M H_{e} (s)} \frac{1}{1 + T (s)}

加了滤波器后，我们用 EET 来看发生了什么。我们把滤波器的输出阻抗 $Z_{o}$ 看作是“额外元件”。根据 EET，修正后的传递函数 $G_{v g}^{'} (s)$ 会多出一个修正因子：

G_{v g}^{'} (s) = H_{i} (s) G_{v g} (s) \frac{1 + \frac{Z_{o}}{Z_{N g}}}{1 + \frac{Z_{o}}{Z_{D g}}}

这里有两个阻抗 $Z_{N g}$ 和 $Z_{D g}$ ，它们是把 $\hat{v}$ 短路或置零时看到的输入阻抗。经过一番推导，你会发现 $Z_{N g}$ 是无穷大（开路），而 $Z_{D g}$ 恰好就是变换器的闭环输入阻抗 $Z_{i}$ 。

于是公式变成了：

G_{v g}^{'} (s) = H_{i} (s) G_{v g} (s) \frac{1}{1 + \frac{Z_{o}}{Z_{i}}}

看，那个要命的分母 $1 + Z_{o} / Z_{i}$ 又出现了。如果 $Z_{o}$ 和 $Z_{i}$ 的比例导致了这个分母有 RHP 极点，那么 $G_{v g}^{'}$ 就会包含这些极点——系统失稳。

第二刀：找出闭环输入阻抗 $Z_{i}$

现在问题变成了：求 $Z_{i}$ 。这可不是简单地测个电阻。变换器是闭环的，控制环路在工作，这会让它的输入阻抗表现出非常奇特的特性（甚至是负电阻）。

我们在输入端口注入一个测试电压 ${\hat{v}}_{t}$ ，测量电流 ${\hat{i}}_{t}$ 。利用反馈定理，我们可以推导出闭环输入导纳 $Y_{i} = 1 / Z_{i}$ 的表达式：

Y_{i} = Y_{i \infty} \frac{T}{1 + T} + Y_{i 0} \frac{1}{1 + T}

这里有两项，非常有意思：

$Y_{i \infty}$ （无穷大环路增益下的导纳）：当环路增益 $T$ 很大时（低频段），这一项主导。推导结果告诉我们， $Y_{i \infty} = - j (s) / e (s)$ 。对于 Buck 变换器， $Y_{i \infty} = - M^{2} / R$ 。 注意这个负号！ 这意味着在低频下，闭环调节器看起来像一个负电阻。物理直觉也很简单：电压升高 -> 占空比减小 -> 输入电流减小 -> 增量电阻为负。
$Y_{i 0}$ （零环路增益下的导纳）：当 $T$ 很小（高频段），或者环路断开时，这一项主导。此时 $Y_{i 0} = M^{2} / Z_{e i} (s)$ 。这是开环时的输入导纳，是正的，表现为无源 LC 网络的特性。

构建 $Z_{i}$ 的渐近线 $Z_{i}$ 的幅频特性长这样（这步对理解至关重要）：

低频（ $f < f_{c}$ ）： $T$ 很大， $Z_{i}$ 趋近于 $Z_{N}$ 。对于 Buck，这就是 $- R / M^{2}$ 。相位是 -180°。
高频（ $f > f_{c}$ ）： $T$ 很小， $Z_{i}$ 趋近于 $Z_{D}$ 。表现为电感 $s L / M^{2}$ 。相位是 +90°。
中频（穿越 $f_{c}$ 附近）： $Z_{i}$ 从负电阻平滑过渡到正电感。这里有一个极其微妙的点：在这个过渡区， $Z_{i}$ 的幅值可能会跌落到比 $Z_{N}$ 和 $Z_{D}$ 都要低。同时，这里还会出现一个右半平面极点（RHP Pole）。（注意：RHP 极点并不直接导致 $v$ 不稳定，而是 $i$ 的传递函数里会有 RHP 零点）。

第三刀：次级环路 $T_{m}$ 的稳定性判定

现在我们有了两把武器：

输入滤波器的输出阻抗 $Z_{o}$ 。
变换器的闭环输入阻抗 $Z_{i}$ （那条从负电阻穿过横轴变成电感的线）。

把这两样东西放在一起看。相减： $∥ T_{m} ∥_{d B} = ∥ Z_{o} ∥_{d B} - ∥ Z_{i} ∥_{d B}$ 。相位： $∠ T_{m} = ∠ Z_{o} - ∠ Z_{i}$ 。

这就是次级环路 $T_{m}$ 的全貌。 在低频， $Z_{i}$ 是负阻（相位 -180°）， $Z_{o}$ 是感性的（+90°），所以 $T_{m}$ 的相位起步就是 -270°。随着频率升高， $T_{m}$ 穿过 0dB 两次（ $f_{m c 1}$ 和 $f_{m c 2}$ ）。在中间区域， $T_{m}$ 的相位非常恶心，甚至绕了 -1 点一圈。

把 $T_{m}$ 画成奈奎斯特图。那个小小的圆圈把 -1 点包住了。这证明了次级环路 $T_{m}$ 不稳定。这意味着，虽然主环路 $T (s)$ 可能看起来没问题，但输入端口的这种阻抗相互作用，硬生生给系统引入了两个右半平面极点。

这也从另一个角度解释了为什么阻抗不等式 $∥ Z_{o} ∥ ≪ ∥ Z_{N} ∥$ 是保命的秘籍。只要你把 $Z_{o}$ 压得足够低， $T_{m}$ 的幅值就永远上不去，自然就围不住 -1 点。

（17.5.3 总结） 无论是看修正后的主环路 $T (s)$ ，还是看次级环路 $T_{m} (s)$ ，我们看到的其实是同一枚硬币的两面。阻抗不等式不是“稳定条件”，它是“充分条件”。真正的判据永远在那张画着相位裕量的 Bode 图或者那个绕着 -1 点转圈的奈奎斯特图里。但好在，对于绝大多数工程设计，只要老老实实地把 $Z_{o}$ 做小，把阻尼加够，你就不用去画那些吓人的奈奎斯特圆了。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

17.5 稳定性判据 ​

17.5.1 修正相位裕量 ​

无阻尼滤波器的“自杀式”袭击 ​

实战演练：带阻尼的 Buck 调节器 ​

故意搞破坏：当阻尼不足时发生什么？ ​

17.5.2 闭环输入阻抗与次级环路 ​

核心机制：分压项的隐患 ​

第一刀：解析修正后的闭环传函 ​

第二刀：找出闭环输入阻抗 Zi ​

第三刀：次级环路 Tm 的稳定性判定 ​