Boost 变换器实战 | 硬件学习笔记

2.3 Boost 变换器实战

好了，既然我们已经掌握了“小纹波近似”这把尺子，也理解了伏秒平衡和电荷平衡这两大铁律，现在正是检验成色的时候。

接下来我们要面对的是 Boost 变换器。

如果你还记得上一节的结尾，我提到过 Boost 是个“性格迥异”的家伙。为什么这么说？Buck 电路里，电感就像是水坝后的蓄水池，主要任务是平滑输出电流；而在 Boost 电路里，电感的角色完全变了——它成了能量搬运工，必须在输入端疯狂吞进电流，然后在输出端狠狠地吐出来，把电压“举”起来。

我们要解决的第一个核心问题是：为什么一个只能开关的电路，能产生比输入还高的电压？

这看起来有点违反直觉，毕竟我们并没有任何“放大”元件。但正如我们所见，物理学里没有魔法，只有交换。Boost 变换器之所以能升压，是因为它在跟电感做一笔“时间换电压”的生意。

让我们把电路图在脑子里画出来，然后把它的状态拆开来看。

2.3.1 电路状态拆解

Boost 的拓扑结构很简单：输入电源 $V_{g}$ 串着一个电感 $L$ ，然后是开关网络（也就是那个能在位置 1 和 2 之间跳变的单刀双掷开关），最后并联着电容 $C$ 和负载电阻 $R$ 。

理想模型里那个开关，在实战版本中通常用 MOSFET $Q_{1}$ 替换位置 1，用二极管 $D_{1}$ 替换位置 2。别被具体的器件分心，就把它当成一个受控开关来看。

现在，我们盯着电感 $L$ 两端的电压 $v_{L} (t)$ 和电容 $C$ 里的电流 $i_{C} (t)$ 。

状态一：开关合在位置 1（MOSFET 导通）

当开关打向位置 1 时，电感的右边直接被开关拽到了地（Ground）。

注意这意味着什么——输入电源 $V_{g}$ 直接加在了电感两端。

此时电感两端的电压是多少？

v_{L} = V_{g}

这是正向压降。电感正在被疯狂充电，电流线性上升。

这时候电容在干什么？电容 $C$ 此时正独自挂着负载 $R$ 。电容是储能元件，它在放电，维持负载电压。所以流过电容的电流是反向的（流出电容）：

i_{C} = - \frac{v}{R}

根据“小纹波近似”，我们可以把输出电压 $v (t)$ 替换为直流分量 $V$ ，公式就变成了：

i_{C} = - \frac{V}{R}

这其实就是负载电流。

状态二：开关合在位置 2（二极管导通）

当开关跳到位置 2 时，电感的左边连着电源，右边连着输出端。

这时候电感电压变成了输入电压减去输出电压：

v_{L} = V_{g} - v

同样套用近似 $v \approx V$ ：

v_{L} = V_{g} - V

这时候电容电流呢？电感不仅给负载供电，还得给电容充电（把刚才亏空的电补回来）。根据 KCL（基尔霍夫电流定律）：

i_{C} = i_{L} - \frac{v}{R}

套用近似 $i_{L} \approx I$ 和 $v \approx V$ ：

i_{C} = I - \frac{V}{R}

把这两个状态下的波形画出来，盯着状态一的 $v_{L} (t)$ 波形看——这是我们解开升压谜题的钥匙。

2.3.2 为什么能升压？——伏秒平衡的推理

现在到了最精彩的部分。我们来推导一下 Boost 变换器的电压转换比 $M (D)$ 。

回想一下“电感伏秒平衡”原则：稳态下，电感电压在一个周期内的平均值必须为零。

⟨ v_{L} ⟩ = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} v_{L} (t) d t = 0

看看状态一的 $v_{L} (t)$ 波形。在第一个子区间（ $0 \leq t \leq D T_{s}$ ），电感电压是 $V_{g}$ ，面积为正。电感在吸收能量。在第二个子区间（ $D T_{s} \leq t \leq T_{s}$ ），电感电压是 $(V_{g} - V)$ 。

这里有个逻辑陷阱。如果 $V_{g} - V$ 还是正的，那整个周期的积分就是正值，电感电流就会一直往上冲，直到炸掉。为了达到平衡（平均值为零），第二个子区间的电压必须是负的。

这直接推导出了一个结论：

(V_{g} - V) 必须小于 0

也就是说：

V_{g} - V < 0 ⟹ V > V_{g}

输出电压 $V$ 必须大于输入电压 $V_{g}$ 。

这不是假设，这是稳态物理法则的必然结果。只要你把电感左边接 $V_{g}$ ，右边通过开关切换到地，为了维持平衡，右边悬浮时的电位就必须比 $V_{g}$ 高。

现在我们来算具体的数值。

把一个周期 $T_{s}$ 内的伏秒面积加起来：

\int_{0}^{T_{s}} v_{L} (t) d t = (V_{g}) \cdot D T_{s} + (V_{g} - V) \cdot D^{'} T_{s} = 0

展开计算：

V_{g} (D + D^{'}) - V D^{'} = 0

因为 $D + D^{'} = 1$ （占空比互补），公式简化为：

V_{g} - V D^{'} = 0

解出输出电压 $V$ ：

V = \frac{V_{g}}{D^{'}}

这看起来很简单。但别忘了 $D^{'} = 1 - D$ ，我们可以把它写成更常见的转换比 $M (D)$ 形式：

M (D) = \frac{V}{V_{g}} = \frac{1}{D^{'}} = \frac{1}{1 - D}

这就是 Boost 变换器的核心公式。

这个公式告诉了我们几件非常有趣（也非常危险）的事：

升压确认：当 $0 < D < 1$ 时，分母 $(1 - D)$ 小于 1，所以 $V > V_{g}$ 。确认无疑。
理想无穷大：当 $D$ 趋近于 1 时，分母趋近于 0，输出电压 $V$ 理论上趋近于无穷大。这当然只是理想情况。现实世界里，当你把 $D$ 推得太近 1 时，各种寄生电阻（比如电感的内阻、MOSFET 的导通电阻）会把输出电压死死地按在地上。如果你在现实里试图让 $D = 0.9$ 甚至更高，通常只会得到一个发热严重的电感和一个并不怎么高的电压——下一章讲非理想特性时我们会再算这笔账。

2.3.3 电感电流有多大？——电荷平衡的应用

搞定了电压，我们再来看看电流。负载电阻 $R$ 上的电流是 $V / R$ ，那电感平均电流 $I$ 是多少？

在 Buck 里，电感平均电流等于负载电流。但在 Boost 里，这就不对了。

我们来算一下。根据“电容电荷平衡”原则，电容平均电流为零：

⟨ i_{C} ⟩ = 0

看状态二的 $i_{C} (t)$ 波形。它在一个周期内的平均面积是：

\int_{0}^{T_{s}} i_{C} (t) d t = (- \frac{V}{R}) D T_{s} + (I - \frac{V}{R}) D^{'} T_{s} = 0

展开计算：

- \frac{V}{R} (D + D^{'}) + I D^{'} = 0

同样代入 $D + D^{'} = 1$ ：

- \frac{V}{R} + I D^{'} = 0

解出 $I$ ：

I = \frac{V}{D^{'} R}

这就很有意思了。这里的 $V / R$ 就是负载电流（ $I_{l o a d}$ ）。所以电感电流是：

I = \frac{I_{l o a d}}{D^{'}} = \frac{I_{l o a d}}{1 - D}

这说明什么？ 在 Boost 变换器里，电感电流（也就是输入电流）比输出负载电流要大。

⚠️ 踩坑提醒：这是 Boost 选电感时最容易翻车的地方。新手常拿输出电流 $I_{l o a d}$ 去标电感的额定电流，结果一上电电感就发烫甚至饱和炸机。记住——Boost 的电感串在输入端，它要扛的是 $I = I_{l o a d} / (1 - D)$ ， $D$ 越大越夸张。 $D = 0.8$ 时，电感电流是负载电流的 5 倍。额定电流必须按输入端算，不是输出端。

这完全符合能量守恒。假设元件是理想的，输入功率等于输出功率：

V_{g} I = V I_{l o a d}

既然输出电压 $V$ 比输入电压 $V_{g}$ 高，那么输入电流 $I$ 就必须比输出电流 $I_{l o a d}$ 低（或者反过来说，为了维持功率平衡，低电压端必须吸入更大的电流）。

把电感电流直流分量 $I$ 随占空比 $D$ 的变化画出来，你会看到当 $D$ 接近 1 时，电流曲线陡峭上升。这正是高占空比下 Boost 变换器设计的一个巨大挑战——你需要低导通电阻的电感和 MOSFET 来承受这个大电流，否则效率会惨不忍睹。

2.3.4 纹波计算——给波形画上细节

既然有了电压和电流的直流分量，最后一步就是画出交流纹波。这不仅是为了好看，更是为了选元器件（电感 $L$ 和电容 $C$ ）。

电感电流纹波 $Δ i_{L}$

电感电压波形 $v_{L} (t)$ 我们已经在状态一里画好了。根据电感公式 $v_{L} = L \frac{d i_{L}}{d t}$ ，电流的变化率 $\frac{d i_{L}}{d t}$ 就是电压除以电感。

在第一个子区间，电压是 $V_{g}$ ，斜率是：

\frac{d i_{L}}{d t} = \frac{V_{g}}{L}

在第二个子区间，电压是 $(V_{g} - V)$ ，斜率是：

\frac{d i_{L}}{d t} = \frac{V_{g} - V}{L}

在一个完整的开关周期里，电流先升后降。我们来看看第一个子区间里，电流涨了多少：

2 Δ i_{L} = 斜率 \times 时间 = \frac{V_{g}}{L} D T_{s}

注意这里乘的是 $D T_{s}$ 。解一下 $Δ i_{L}$ ：

Δ i_{L} = \frac{V_{g}}{2 L} D T_{s}

这个公式很重要。如果你想把电感电流纹波控制在一定范围内（比如不要超过平均电流的 10%到 20%），你就得根据这个公式来选 $L$ 值。 $L$ 越大，纹波越小。

输出电压纹波 $Δ v$

最后看电压纹波。电容电流波形 $i_{C} (t)$ 我们在状态二里画过了。根据电容公式 $i_{C} = C \frac{d v}{d t}$ ，电压的变化率是 $\frac{i_{C}}{C}$ 。

在第一个子区间，电容电流是 $- V / R$ （放电），斜率为负：

\frac{d v}{d t} = \frac{- V}{R C}

在第二个子区间，电容电流是 $I - V / R$ （充电），斜率为正（根据前面的推导，这里实际上是充电电流补回了刚才放掉的电）。

电压是往下掉了一点点，又涨回来。我们只看第一个子区间，电压掉了多少（ $- 2 Δ v$ ）：

- 2 Δ v = \frac{- V}{R C} D T_{s}

消掉负号，得到电压纹波的峰峰值 $Δ v$ ：

Δ v = \frac{V}{2 R C} D T_{s}

这就是著名的输出纹波公式。如果你想要一个更干净的电源，就把 $C$ 选大点，或者把 $R C$ 滤波器的截止频率降得比开关频率 $f_{s}$ 低得多。

总结一下这一节的战果：

我们用“小纹波近似”和“伏秒/电荷平衡”这两把板斧，把 Boost 变换器彻底拆解了。

我们发现：

电压转换比 $M (D) = 1 / (1 - D)$ ，它天生就是升压的。
电流关系：输入电流（电感电流）比输出电流大，这是功率平衡的代价。
纹波：无论是电流纹波还是电压纹波，都和 $L$ 、 $C$ 以及开关周期 $T_{s}$ 直接挂钩。

Boost 电路看起来比 Buck 复杂一点——尤其是那个电感电流比负载电流还大这件事，经常让人在选电感时算错额定电流。但只要你画准了 $v_{L} (t)$ 和 $i_{C} (t)$ 的波形，剩下的就是简单的代数题。

在下一节，我们会遇到一个性格更古怪的拓扑——Ćuk 变换器。它不仅能像 Buck-Boost 那样随意升压降压还能反极性，而且它玩的是一种完全不同的能量传递游戏：电容能量传递。在那里，我们的分析工具将接受更严酷的考验。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

2.3 Boost 变换器实战 ​

2.3.1 电路状态拆解 ​

状态一：开关合在位置 1（MOSFET 导通） ​

状态二：开关合在位置 2（二极管导通） ​

2.3.2 为什么能升压？——伏秒平衡的推理 ​

2.3.3 电感电流有多大？——电荷平衡的应用 ​

2.3.4 纹波计算——给波形画上细节 ​

电感电流纹波 ΔiL ​

输出电压纹波 Δv ​