3.6 习题：稳态建模与效率权衡

走到这里，机制应该已经清楚了——或者你以为清楚了。

这一章的练习题难度是递进的：从基础的电感损耗推导，到半导体器件的建模，最后是实战中的效率权衡。建议先不看提示独立推导，卡住了再回看正文的对应章节。有些题（特别是 3.6 和 3.8）如果不动手算一遍，你对“效率权衡”的理解永远只停留在公式上。

别被题量吓倒，这是一场闭卷考试前的模拟。

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3.1 Buck-Boost 变换器与电感铜损

考虑一个 Buck-Boost 变换器，其电感是有损的（绕组电阻 $R_L$）。忽略其他所有损耗。

(a) 推导非理想电压转换比 $V/V_g$ 的表达式。

这里的核心是：把 $R_L$ 算进去，Buck-Boost 还能维持理想的 $D/(1-D)$ 吗？显然不能。你需要利用电感伏秒平衡和电容电荷平衡（或者直接利用正文中的“等效串联电阻”模型），把 $R_L$ 造成的影响写进 $M(D)$ 里。结果应该会包含一个分压项。

(b) 绘制 (a) 的结果图像，范围 $0\le D\le 1$，分别取 $R_L/R=0,0.01,0.05$。

这一步会让你直观地看到“非理想”是如何把理想曲线往下拉的。当 $R_L$ 增大时，$V$ 还能达到峰值吗？画出来就知道了。

(c) 推导效率 $\eta$ 的表达式。

将结果整理为类似式 (3.35) 的形式（即 $1/(1+F)$ 的形式）。这里的 $F$ 就是损耗因子。你会发现它和负载电阻 $R$ 密切相关。

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3.2 建模：Buck-Boost 的等效电路

沿用上题的 Buck-Boost 变换器，电感有绕组电阻 $R_L$。忽略其他损耗。

推导该变换器的等效电路模型。

要求：模型必须明确展示变换器的输入端口（Input Port），并且模型中应包含两个直流变压器。

提示：我们在正文中讲过，如何把输入电流波形转化为受控源。这里你需要把那个逻辑反过来用——先写出输入端的平均电流表达式，看看它受输出端哪些量（$V,I,R$ 等）的控制，然后把它“翻译”成变压器和电阻的组合。

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3.3 电流馈电式桥式变换器

考虑一个电流馈电式桥式变换器，电感有损耗电阻 $R_L$。忽略其他损耗。开关同步工作：在 $0<t<D{T}_s$ 时处于位置 1，在 $D{T}_s<t<T_s$ 时处于位置 2。

(a) 推导非理想电压转换比 $V/V_g$。

这个拓扑看起来比 Buck-Boost 复杂，但本质还是电感储能。画出开关在两个位置时的电路，列写电感电压方程，利用伏秒平衡。你会发现这里的 $M(D)$ 形式可能和你之前见过的都不一样。

(b) 绘制 (a) 的图像，范围 $0\le D\le 1$，取 $R_L/R=0,0.01,0.05$。

(c) 推导效率表达式。

同样整理成式 (3.35) 的形式。和 3.1 的结论对比一下，拓扑结构变了，损耗项的表达形式变了吗？

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3.4 建模：电流馈电式桥式变换器

沿用上题的电流馈电式桥式变换器，电感有绕组电阻 $R_L$。忽略其他损耗。

推导该变换器的等效电路模型。

提示：别忘了输入端口。这个模型可能是这一章练习里最“怪”的一个。

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3.5 Buck 变换器与半导体损耗

一个 Buck 变换器，MOSFET 导通电阻为 $R_{on}$，二极管正向压降建模为恒压源 $V_D$。忽略其他损耗。

(a) 推导该变换器的完整等效电路模型。

这是正文 3.5 节内容的直接应用。你要把 $Q_1$ 变成 $D{R}_{on}$，把 $D_1$ 变成 $D^{\prime }{V}_D$ 和 $D^{\prime }{R}_D$（虽然这题只给了 $V_D$，没给 $R_D$，就先当它是理想压降）。

(b) 求解你的模型，找出输出电压 $V$。

把模型解出来，你会得到一个包含 $R_{on}$ 和 $V_D$ 的 messy equation。这就是真实的 $V$。

(c) 推导效率 $\eta$。

整理成式 (3.35) 形式。你会发现当负载很轻时，二极管的固定压降 $V_D$ 会疯狂杀伤效率。

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3.6 锂电池供电设计实战（⭐⭐⭐）

这是一个实战题，别手滑。

我们需要用单芯锂聚合物电池（3.0 V ~ 4.2 V）给一个 3.3 V 的负载供电。选定了 Buck-Boost 变换器。

已知参数：

• MOSFET $Q_1$: $R_{on}=50\text{ m}\mathrm{\Omega }$
• 二极管 $D_1$: 肖特基，固定压降 $V_D=0.2\text{ V}$，串联电阻 $R_D=0.1\mathrm{\Omega }$
• 电感有绕组电阻 $R_L$。忽略其他所有损耗。

(a) 推导该变换器的直流等效电路模型。

要求：模型必须包含晶体管、二极管和电感导通损耗，并正确描述直流输入端口。给出所有元件的解析表达式（用符号，别代数字）。

(b) 求解模型，给出输出电压 $V$ 和效率 $\eta$ 的解析表达式。

也就是把 (a) 的电路解出来。

(c) 极限设计。

要求在以下工作点，效率至少达到 80%：

• 输入电压 $V_{batt}=4.0\text{ V}$
• 输出电压 $V=3.3\text{ V}$
• 负载电流 $I=2\text{ A}$

问题：电感绕组电阻 $R_L$ 最大能有多大？此时占空比 $D$ 是多少？

提示：有一种简单算法（直接用效率公式反推 $R_L$），还有一种笨办法（硬解二次方程）。找那个简单办法——利用我们在正文里推导的效率公式结构。

(d) 功率损耗清单。

利用 (c) 算出的 $R_L$ 和 $D$，计算每个元件（MOSFET、二极管、电感）上的功率损耗。看看谁最烫手。

(e) 绘图验证。

精确绘制变换器输出电压 $V$ 和效率 $\eta$ 随 $D$ 变化的曲线（$0\le D\le 1$），使用 (c) 中计算出的 $R_L$ 值。

(f) 讨论你的图表。

它的行为符合预期吗？有没有什么奇怪的点（比如效率在某处突然跳水）？解释一下。

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3.7 带输入滤波器的 Buck 变换器

为了抑制输入电流的开关纹波，我们在 Buck 变换器前加了一个输入滤波器，于是电路里有两个电感 $L_1,L_2$，分别有绕组电阻 $R_{L1},R_{L2}$。MOSFET 导通电阻 $R_{on}$，二极管模型为恒压源 $V_D$ 串联电阻 $R_D$。忽略其他损耗。

(a) 推导完整等效电路模型。

这里有两个电感，每个都带串联电阻。输入部分的滤波电感 $L_1$ 会把输入电流“平滑”成什么样的波形？它的等效电阻怎么算？

(b) 求解直流输出电压 $V$。

(c) 推导效率表达式。

整理成标准形式。你会发现加了滤波器后，效率公式变长了——因为损耗源头变多了。

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3.8 1.5V 升 5V 设计（⭐⭐⭐）

用一节 1.5 V 电池供电一个 5 V, 1 A 的负载。决定用 Buck-Boost 变换器。

已知：

• MOSFET: $R_{on}=35\text{ m}\mathrm{\Omega }$
• 二极管: 正向压降 $0.5\text{ V}$（忽略其导通电阻）

拓扑为标准 Buck-Boost。

(a) 推导直流等效电路模型。

包含晶体管、二极管、电感铜损。正确描述输入端口。

(b) 效率约束设计。

要求在标称条件下（$V_{in}=1.5\text{ V}$, $V_{out}=5\text{ V}$, $I=1\text{ A}$），效率至少 70%。

问题：电感绕组电阻 $R_L$ 最大能是多少？此时占空比 $D$ 是多少？

提示：这题和 3.6 是孪生兄弟，只是电压关系变了。注意这里 $V_g<V$，是 Boost 模式，占空比会很大，这对二极管损耗意味着什么？

(c) 功率损耗清单。

每个元件损耗多少？

(d) 绘图。

输出电压和效率 vs. $D$ 的曲线（$0\le D\le 1$），使用 (b) 算出的 $R_L$。

(e) 讨论。

曲线合理吗？有没有发现效率在某一段掉得特别快？那是为什么？

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3.9 500V 转 400V：Buck 还是 Buck-Boost？（⭐⭐⭐）

这是一道对比题。我们需要把 500 V 直流源变成 400 V, 10 A 负载。两个候选方案：Buck 和 Buck-Boost。

为了简化，假设 MOSFET 导通电阻 $R_{on}=0.5\mathrm{\Omega }$。忽略其他所有损耗（包括二极管）。虽然这不现实，但能让我们看清拓扑本身的差异。

(a) 推导两个变换器的等效电路模型（含输入输出端口和 $R_{on}$ 损耗）。

(b) 确定在指定工况下，两个变换器的占空比 $D$。

(c) 比较两者的导通损耗和效率，得出结论：哪个更适合这个应用？

思考：同样是降压（$500\to 400$），Buck-Boost 为什么要被考虑？也许是因为它需要隔离（如果加上变压器）？但在这种非隔离纯电气对比下，Buck-Boost 的劣势会被那个“吞吐电流”的特性放大。算出来的数字会告诉你答案。

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3.10 300V 升 400V：Boost 还是 Buck-Boost？（⭐⭐⭐）

要把 300 V 电池升到 400 V, 10 A 负载。候选方案：Boost 和 Buck-Boost。

简化假设同上（$R_{on}=0.5\mathrm{\Omega }$，忽略其他损耗）。

确定效率和功率损耗，哪个更好？

对比一下 Boost 和 Buck-Boost。这题会揭示为什么 Boost 是升压之王——除非你必须能降压（比如电池电压波动到 400V 以上），否则别轻易用 Buck-Boost。

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3.11 离线式 Buck 变换器（⭐⭐⭐）

这是一个高压大功率场景。

输入：整流后的 230 V 交流市电，即直流输入 $V_g=325\text{ V}\pm 20\mathrm{\%}$。输出：恒定 $V=240\text{ V}$ 直流。负载：$10\text{ A}\le I\le 1\text{ A}$（10:1 变化范围）。

参数：

• MOSFET $R_{on}=0.8\mathrm{\Omega }$
• 二极管：$0.7\text{ V}$ 恒压源串联 $0.2\mathrm{\Omega }$ 电阻。
• 忽略其他损耗。

(a) 推导等效电路模型（含输入输出端口及损耗）。

(b) 占空比范围。

既然 $V_g$ 在变，$I$ 在变，而 $V$ 要稳住，那么 $D$ 的变化范围是多少？这决定了你的控制芯片要有多宽的动态范围。

(c) 最坏情况分析。

在哪个工作点（即哪个 $V_g$ 和 $I$ 的组合）下，变换器功率损耗最大？ 此时的效率是多少？

提示：损耗由 $I$ 和 $D$ 共同决定。是高压轻载时损耗大，还是低压重载时损耗大？这题能帮你建立起“最坏情况设计”的直觉。

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3.12 Ćuk 变换器建模

一个 Ćuk 变换器，MOSFET 有 $R_{on}$，二极管有恒定压降 $V_D$。忽略其他损耗。

(a) 推导等效电路模型。

建议：如果你不知道怎么处理方程里的某些项，先把它们写成受控源。一旦把直流变压器塞进模型，那些受控源的物理意义可能就清晰了。 Ćuk 变换器有两个电感，中间有个电容，它的输入输出电流都是连续的，这让它建模起来有点特殊。

(b) 推导输出电压 $V$ 和效率 $\eta$ 的解析式。

(c) 绘图 ($V_D=0$)。

绘制 $V/V_g$ vs. $D$，取 $R_{on}/R=0.01$ 和 $0.05$。

(d) 绘图 ($V_D=0$)。

绘制效率 $\eta$ vs. $D$，同上参数。

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本章回响

本章真正在做的事情，是建立**“非理想视角”**这个认知的底层形式。

表面上我们在推导一个个乱七八糟的 $R_L$、$V_D$、$R_{on}$ 公式，实际上我们在理解为什么**“教科书里的理想变换器在现实中根本不存在，且如果不加修正地使用理想公式，设计出的系统会直接炸机”**。

还记得本章开头那个疑惑吗——为什么同样的电路，理论上 100% 效率，实际上却发烫甚至不工作？现在你能回答了： 因为电感不是理想导线（有 $R_L$），开关不是理想开关（有 $R_{on}$ 和 $V_D$）。这些寄生参数在模型中，或者体现为与变压器串联的电阻（分压），或者体现为与负载并联的电流源（分流）。它们不仅吃掉了电压，还吃掉了效率。

更重要的是，我们学会了如何用**“直流变压器模型”**这一武器，把这些复杂的、非线性的、时变的开关行为，转化为简单的、线性的、直流电阻电路。 只要画出那个包含 $D:1$ 变压器和几个寄生电阻的电路图，所有的损耗分析、效率计算、最坏情况预测，都变成了小学水平的欧姆定律计算。

下一章，我们将把这个机制推演到它的极限——“开关模型”。届时你会发现，我们今天建立的这种“平均化”直觉，将会以一种意想不到的方式派上用场：我们不仅平均电压和电流，还要平均整个电路拓扑。

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练习题

练习 1：understanding

题目：假设有一个理想的 Buck 变换器（忽略所有损耗），其占空比为 D。请根据直流变压器模型的概念，推导并写出输入电压 Vg 与输出电压 V 的关系式。如果输入电流为 Ig，输出电流为 I，两者的关系是什么？

答案与解析

答案：电压关系：V = D * Vg；电流关系：Ig = D * I。

解析：根据直流变压器模型，理想变换器遵循 Pin = Pout，且变比为 M(D)。对于 Buck 变换器，其稳态转换比 M(D) = D。因此，输出电压 V = M(D) * Vg = D * Vg。根据功率守恒 Vg * Ig = V * I，代入电压关系可得 Vg * Ig = (D * Vg) * I，化简后得到 Ig = D * I。这也符合变压器匝数比 1:D 的电流关系。

练习 2：application

题目：考虑一个实际的非理想 Boost 变换器，电感含串联电阻 RL。已知输入电压 Vg = 20V，占空比 D = 0.5，负载电阻 R = 50Ω，电感铜损电阻 RL = 0.5Ω。请利用等效电路模型（或分压公式）计算该变换器的输出电压 V。

答案与解析

答案：输出电压 V 约为 35.7V。

解析：对于含电感铜损的 Boost 变换器，输出电压公式（参考 Eq. 3.14）为 V = (Vg / D') * (1 / (1 + RL / (D'^2 * R)))。 首先计算 D' = 1 - D = 0.5。 理想增益项：Vg / D' = 20V / 0.5 = 40V。 损耗项：1 / (1 + RL / (D'^2 * R))。 代入数值：RL / (D'^2 * R) = 0.5 / (0.5^2 * 50) = 0.5 / 12.5 = 0.04。 损耗因子：1 / (1 + 0.04) ≈ 0.9615。 最终电压：V = 40V * 0.9615 ≈ 38.46V。 （注：若直接按高中物理习惯计算：折算电阻 R_L' = RL / D'^2 = 0.5 / 0.25 = 2Ω。总等效电阻 = 2 + 50 = 52Ω。输出电压 = 40V * (50 / 52) ≈ 38.46V。） 修正：原解析计算过程中数值 35.7V 对应的 RL/R 值有误，根据给定参数 0.5/50=0.01 及 D=0.5，精确计算结果应为 38.46V。此处答案以解析中重新计算的为准。

练习 3：thinking

题目：在设计一个 Boost 变换器时，为了提高效率，工程师试图减小电感的铜损电阻 RL。然而，随着占空比 D 的增加（接近 1），即使 RL 很小，变换器的效率仍然会显著下降。请利用“有效电阻”或等效电路模型的概念，解释为什么在高占空比下电感铜损对效率的影响如此严重？

答案与解析

答案：因为在高占空比下，折算到变压器次级（负载侧）的有效电感电阻 Req = RL / D'^2 会急剧增大，导致电感上的损耗功率相对于负载功率显著增加。

解析：根据等效电路模型，电感铜损电阻 RL 在反射到变压器次级时，其有效电阻值变为 RL / D'^2（其中 D' = 1-D）。当 D 接近 1 时，D' 趋近于 0，导致 D'^2 极小，从而使得折算后的有效电阻 Req = RL / D'^2 变得非常大。虽然负载电阻 R 不变，但巨大的串联电阻 Req 会分得大部分电压，导致输出电压下降，且电感上的损耗功率 I^2 * RL（或 V^2 / Req）在总功率中的占比大幅上升，从而使效率急剧降低。这就是为什么在实际设计中，Boost 变换器的占空比通常不能无限接近 1 的物理原因。

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要点提炼

开关变换器在稳态下本质上是一个「直流变压器」，其核心特征是输入与输出功率守恒，且电压转换比 $M(D)$ 仅由占空比 $D$ 决定，与负载电阻无关。这一模型将复杂的时变开关电路抽象为一个时不变的黑盒，利用变压器的折算规则（电压乘以变比，电阻乘以变比的平方），可以极简地分析级联系统的阻抗匹配与电压调整问题，是进行系统级分析的有力工具。

为了量化效率与损耗，必须构建包含寄生参数的等效电路模型，这需要利用「电感伏秒平衡」和「电容电荷平衡」原理，将原本描述两个开关状态的瞬时方程合并为一个稳态直流方程。通过将这些方程中的各项分别映射为电压源、电流源或电阻，可以把繁琐的代数方程组转化为直观的电路图，其中受控电压源和受控电流源对构成了「理想直流变压器」的本质。

实际电路中的非理想特性在模型中体现为修正项：电感的铜损被建模为与理想电感串联的电阻 $R_L$，而半导体器件的导通损耗则被折算为等效的连续电阻，例如 MOSFET 的导通电阻 $R_{on}$ 在平均模型中等效于 $D{R}_{on}$。这种折算基于功率守恒（即 $I^2\cdot R_{on}$ 的平均功率），使得模型能准确反映寄生参数对电压转换比和效率的拉低作用。

Boost 等升压变换器存在一个反直觉的物理极限：当占空比 $D$ 趋近于 1 时，输出电压不仅不会趋向无穷大，反而会因为折算后的等效负载电阻（$D^{\prime 2}R$）急剧减小而导致电压崩塌和效率归零。这揭示了在重损耗下，为了维持伏秒平衡，电感电流会剧烈增大，最终导致所有输入电压都被内阻消耗，工程设计必须尊重这一物理边界。

对于 Buck 等输入电流断续的拓扑，建模的关键在于正确推导输入端口的特性。通过计算输入电流波形的平均值（如 Buck 为 $D{I}_L$），可以在等效电路中补全输入侧的受控源，从而与输出侧构成完整的直流变压器模型。这一步确保了模型不仅能计算输出电压，还能准确反映输入纹波电流对电源的冲击及负载调整率。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。