13.5 习题：测试你的理解

走到这里，机制应该已经清楚了——或者你以为清楚了。

下面几道题难度递进。有些是为了巩固基础，有些是为了把前面埋下的雷炸出来给你看（比如 13.3 题的运放模型坑）。建议先不看答案独立推导，卡住了再翻回前面的章节找公式。

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练习 13.1 ⭐（基础训练）

反馈放大器基础推导

考虑一个经典的反馈放大器结构，我们在电路里预设了一个电压注入源 ${\hat{v}}_z$，这就是应用反馈定理的「入口」。我们的目标是求出这个放大器的闭环增益：

$$G=\frac{{\hat{v}}_o}{{\hat{v}}_i}{|}_{{\hat{v}}_z=0}$$

这不是一个简单的分压电路，你需要动用这一章的工具箱。

1. 解析推导：利用反馈定理，推导出 $G_{\mathrm{\infty }},T,G_0,T_n$ 的表达式。结果应该用电路参数 $R_1,R_2,C,R_o,A_o$ 表示。
2. 验证定理：证明互易关系 $T=T_n\frac{G_{\mathrm{\infty }}}{G_0}$ 在这个电路里依然成立。

提示：注意注入点的位置，它直接切断了误差信号的流动路径。先不要急着代入数值，先把符号推导走通。

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练习 13.2 ⭐⭐（机制巩固）

电流注入法的应用

再考虑另一个反馈放大器，但这次我们换一种打法——使用电流注入 ${\hat{i}}_z$。结构变了，但定理没变。

我们的目标同样是求解放大器增益：

$$G=\frac{{\hat{v}}_o}{{\hat{v}}_i}{|}_{{\hat{i}}_z=0}$$

1. 解析推导：基于电流注入技术，推导出 $G_{\mathrm{\infty }},T,G_0,T_n$ 的表达式。结果用 $R_1,C,g_m$ 表示。
2. 验证定理：再次验证互易关系。

提示：这是一个跨导型放大的场景。想想看，当我们在反馈环路里注入电流时，什么条件构成了「理想注入点」？

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练习 13.3 ⭐⭐⭐（实战排雷）

当「理想」假设崩塌时

这道题是个故事。一个设计师按照理想模型设计了一个 PI 补偿器，结果在实验室里炸了。我们需要用反馈定理找出凶手。

(a) 理想假设

假设图中的运放是理想的（开环增益无穷大，虚地成立）。在这个假设下，闭环传递函数 ${\hat{v}}_c/\hat{v}$ 等效于反馈定理中的 $G_{\mathrm{\infty }}(s)$（因为误差信号被强行置零）。

请证明：

$$G_{\mathrm{\infty }}(s)=G_{\mathrm{\infty }0}(1+\frac{{\omega }_1}{s})$$

并推导出 $G_{\mathrm{\infty }0}$ 和 $f_1$ 的表达式（用 $R_1,R_2,R_3,C_3$ 表示）。算出它们的数值。

设计师就是基于这个结果设计的。他以为这玩意儿会稳如泰山。

(b) 现实暴击

板上电，炸了。输出电压疯狂振荡。

你去翻了一下 PWM 控制芯片的 Datasheet，发现那个所谓的「运放」根本不是标准运放——它是一个跨导放大器。

更糟糕的是，跨导 $g_m$ 随工艺和温度漂移得厉害：

$$g_m=100\mu A/V\sim 1mA/V$$

现在，请你用反馈定理（配合电流注入法）重新分析这个真实的电路：

1. 找出 $G_0,T,T_n$ 的解析表达式。
2. 把它们写成标准的极点-零点形式（包含 $g_m$）。
3. 验证互易关系依然成立。

(c) 诊断病根

利用 (b) 的结果，写出真实的闭环传递函数 $G(s)$。你会发现它长这样：

$$G(s)=G_{\mathrm{\infty }0}^{\prime }(1+\frac{{\omega }_1^{\prime }}{s})$$

请算出在 $g_m$ 最小值 ($100\mu A/V$) 和最大值 ($1mA/V$) 两种情况下的 $G_{\mathrm{\infty }0}^{\prime }$ 和 $f_1^{\prime }$。

把它们和 (a) 里的理想值放在一起对比。解释为什么这个看起来无害的参数漂移会导致系统直接不稳定。

(d) 手术方案

既然知道了病因（$g_m$ 不够稳），请修改那个 PI 补偿器里的元件值（$R_1,R_2,R_3,C_3$），使得：

1. 理想增益 $G_{\mathrm{\infty }}(s)$ 保持和 (a) 一样。
2. 但即使在最差的 $g_m$ 下，实际的 $G(s)$ 也必须尽可能逼近理想的 $G_{\mathrm{\infty }}(s)$。

你需要给出一个能免疫 $g_m$ 漂移的修正方案。

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练习 13.4 ⭐⭐⭐（深入运放内部）

非理想运放的闭环特性

沿用 13.3 节里那个更真实的运放模型：

$$R_o=100\mathrm{\Omega },G_{op}(s)=A_o\frac{1}{1+s/{\omega }_1}\frac{1}{1+s/{\omega }_2}$$

其中 $A_o={10}^5$ (100 dB), $f_1=10Hz,f_2=1MHz$。

(a) 三种形态

用这个运放构建三个闭环放大器，理想增益分别为：

1. $G_{\mathrm{\infty }}=1$ (跟随器)
2. $G_{\mathrm{\infty }}=-1$ (反相器)
3. $G_{\mathrm{\infty }}=10$ (同相放大)

画出电路图，选好电阻值。

(b) 环路增益透视

对上面三个电路，画出环路增益 $T(s)$ 的幅频和相频曲线。

算出每个电路的穿越频率 和 相位裕度 ${\varphi }_m$。

问：随着理想闭环增益 $G_{\mathrm{\infty }}$ 的增加，相位裕度是变好了还是变坏了？这符合直觉吗？

(c) 完整画像

利用反馈定理，推导这三个电路的真实闭环增益 $G(s)$。 画出 $G(s)$ 的幅相特性，并在图上标注出关键特征（比如由运放极点引起的闭合点）。

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练习 13.5 ⭐⭐⭐（全系统拆解）

POL 调压器大扫除

这是一个同步降压 POL 调压器，带 PID 补偿。忽略除了 $R_L$ 和 $R_{esr}$ 以外的所有损耗。假设运放是理想的，PWM 输入阻抗无穷大（非常适合注入电压 ${\hat{v}}_z$）。

这题是「大决战」，你要把所有传递函数都推出来。

(a) 环路增益

推导 $T(s)$。写成标准形式。标出特征频率。 画图，求 $f_c$ 和 ${\varphi }_m$。

(b) 输出阻抗

推导闭环输出阻抗 $Z_o(s)=-\hat{v}/{\hat{i}}_{load}$。 你需要用到反馈定理求解 $Z_{\mathrm{\infty }},Z_0,T_{nz}$。 验证互易关系。画图。

(c) 音频敏感度

推导线-输出传递函数 $G_g(s)=\hat{v}/{\hat{v}}_g$。 用到 $G_{\mathrm{\infty }},G_0,T_{ng}$。验证互易关系。画图。

(d) 参考跟踪

推导参考-输出响应 $G_r(s)=\hat{v}/{\hat{v}}_{ref}$。 用到 $G_{\mathrm{\infty }},G_0,T_{nr}$。验证互易关系。画图。

(e) 修正

现在修改 PID 补偿器，使得：

1. $T(s)$ 完全不变。
2. 参考跟踪的理想响应变为全频段单位增益，即 $G_{\mathrm{\infty }}^r=1$。 这需要你在不改变环路特性的前提下，调整参考电压的注入方式。

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练习 13.6 ⭐⭐⭐（非理想的代价）

运放带宽对 PID 的影响

回到同一个 POL 调压器。这次运放不理想了，模型同上，但 $R_o=0$，且增益模型简化为：

$$G_{op}(s)=\frac{{\omega }_{GBW}}{s}$$

我们要看 GBW 对补偿器 $G_c(s)=-{\hat{v}}_c/\hat{v}$ 的破坏力。

(a) 补偿器建模

对实现 PID 的这个闭环运放电路：

1. 推导 $T_c(s),G_{c\mathrm{\infty }},G_{c0}$。
2. 用电路参数和 ${\omega }_{GBW}$ 表示结果。
3. 画图：叠加三种情况的 Bode 图 —— $f_{GBW}=1MHz,10MHz,25MHz$。

(b) 波及整个环路

现在把这个非理想的 $G_c(s)$ 放回整个调压器。

1. 对三个不同的 $f_{GBW}$，叠加画出总环路增益 $T(s)$ 的幅相曲线。
2. 算出各自的 $f_c$ 和 ${\varphi }_m$。
3. 和「理想运放」假设下的结果对比。

终极问题：运放的 GBW 至少要大到多少，我们才能假装它是理想的，忽略它对闭环性能的影响？

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练习 13.7 ⭐⭐（拓展：输入阻抗）

回看习题 9.7（电流模式控制）。

1. 用反馈定理验证原来的结果 ${\hat{i}}_g(s)/{\hat{v}}_{ref}(s)$。
2. 用反馈定理推导闭环输入导纳 $Y_g={\hat{i}}_g/{\hat{v}}_g$。画图。在哪个频段，$|Y_g|$ 近似等于理想值 $Y_{g\mathrm{\infty }}$？

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练习 13.8 ⭐⭐（拓展：输出阻抗校验）

回看习题 9.8。 用反馈定理推导闭环输出阻抗 $Z_o$。 画图验证规格书：在 0 到 20 kHz 全频段内，闭环输出阻抗是否真的小于 $0.2\mathrm{\Omega }$？

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练习 13.9 ⭐⭐（拓展：参考跟踪校验）

回看习题 9.9。 用反馈定理推导闭环参考-输出响应 $G_r=\hat{v}/{\hat{v}}_{ref}$。 画图。在哪个频段，$|G_r|$ 近似等于理想值 $G_{r\mathrm{\infty }}$？

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本章回响：现在我们手里有了显微镜

本章真正在做的事情，是建立一种解剖学的认知。

在此之前，你可能把反馈电路看作一个黑盒：输入进去，输出出来，中间有一个神秘的「环路增益」决定一切。如果出了问题，要么改电阻，要么换运放。

但现在，我们有了 Feedback Theorem 这把手术刀。

我们将闭环行为强行拆解成了四个独立的生理指标：

• $G_{\mathrm{\infty }}$：这是系统的「意志」。当反馈无穷大、误差消失时，系统想要变成什么样。这是由电阻分压网络、参考电压这些「硬连线」决定的，它代表了设计的终极目标。
• $T$：这是系统的「肌肉力量」。它决定了系统能在多大程度上压制误差、无视扰动。它是我们在波德图上辛辛苦苦调整的对象。
• $G_0$：这是系统的「本能」或「寄生行为」。当环路断开（或失效），信号是如何漏过去的？这通常代表了那些不经过放大的直通路径，是工程师讨厌但又不得不面对的物理现实。
• $T_n$：这是系统的「应激反应」。当我们强行让输出为零（即压制扰动）时，环路还能转得动吗？它连接了输入扰动和环路增益，解释了为什么有时候系统的抗扰能力不仅仅取决于 $T$。

这四个量一旦分开，很多东西就不再令人费解。

还记得我们在 13.3 节里遇到的那个反直觉现象吗？为什么环路增益 $T$ 看起来很漂亮，但闭环阻抗 $Z_o$ 却有一个奇怪的凸起？因为 $Z_o$ 的形状不仅取决于 $T$，还取决于开环阻抗 $Z_{out}$（即 $Z_0$）。反馈定理告诉我们，闭环阻抗是开环阻抗被 $(1+T)$ 压制后的结果——但如果开环阻抗本身在随频率变化，那么闭环的形状就会是两者的乘积。

这就是 D-OA（设计导向分析）的力量。它不是给你一个公式让你算数，而是给你一个框架，让你在看到一张奇怪的波形图时，能立刻反应出：「哦，这是 $G_0$ 在捣乱」或者「这其实是 $T_n$ 不够」。

对于下一章要讲的输入滤波器，这种直觉至关重要。

下一章我们会把这个机制推进到一个新的场景里——届时你会发现，今天建立的直觉会以一种意想不到的方式派上用场。你会在输入滤波器的设计中再次遇到「直通」和「环路干扰」，而如果你没有这一章建立的 $G_0$ 和 $T_n$ 的概念，那个中频振荡可能会让你怀疑人生。

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练习题

练习 1：understanding

题目：在应用 Middlebrook 反馈定理进行电路分析时，我们需要定义四个核心传递函数：T(s)、G∞(s)、G0(s) 和 Tn(s)。请根据它们的定义，将下列描述与对应的传递函数进行匹配：

1. 将输入源置零时，反馈信号与注入信号的比值。
2. 输入源存在，且注入信号调整至将误差信号置零时，输出与输入的比值。
3. 输入源存在，且注入信号调整至将反馈路径断开（前向通路信号置零）时，输出与输入的比值。
4. 输入源存在，且注入信号调整至将输出信号置零时，反馈信号与注入信号的比值。

选项：A. 环路增益 T(s), B. 理想正向增益 G∞(s), C. 直接正向传输增益 G0(s), D. 空环路增益 Tn(s)

答案与解析

答案：1-A, 2-B, 3-C, 4-D

解析：这四道题分别对应了反馈定理中四种不同的“思想实验”条件：

1. T(s) 定义为输入置零时的环路增益，公式为 $u_y/u_x{|}_{u_i=0}$。
2. G∞(s) 是在误差信号（正比于 $u_y$）被置零时的增益，代表系统达到“理想”调节状态时的传输特性。
3. G0(s) 是在前向通路被置零（即 $u_x=0$，阻断主放大通路）时的增益，代表信号通过反馈网络“反向”传输或直接传输的特性。
4. Tn(s) 是在输出被置零时的环路增益，它与 T(s) 存在互易关系，且通常计算更简单。

练习 2：application

题目：在设计一个由运算放大器组成的 PD 补偿器时，我们需要考虑运放的有限带宽对环路增益的影响。已知运放的开环增益模型为单极点模型 $G_{op}(s)=G_{op0}/(1+s/{\omega }_1)$，电路反馈网络的电阻分别为 $R_1$（输入电阻）和 $R_2$（反馈电阻），注入点选在运放输出端。如果将运放视为理想（即 $G_{op}\to \mathrm{\infty }$），计算出的理想正向增益 $G_{\mathrm{\infty }}$ 会包含由 $R_1,R_2,R_3$ 和 $C$ 决定的零点和极点。请问：当运放增益 $G_{op}$ 有限时，系统的实际环路增益 $T(s)$ 的大致幅频特性曲线形状是怎样的？它主要受控于哪个元件？

答案与解析

答案：环路增益 $T(s)$ 的幅频特性主要由运放的开环增益决定。在低频段表现为高增益（直流增益），并以 -20dB/dec 的斜率穿过 0dB，在运放的单位增益频率（即 1MHz 处）降到 0dB 以下。

解析：这是一个实际应用场景。根据文中的 13.3 节分析，环路增益 $T(s)$ 是运放开环增益 $G_{op}(s)$ 经过反馈网络分压后的结果（$T\approx G_{op}\cdot \text{分压比}$）。由于文中给定的运放模型在高于 10Hz 时增益近似为 $1MHz/f$，且反馈电阻 $R_2$ 只有 $16\mathrm{\Omega }$，远小于 $R_1$ 和 $R_3$，反馈系数主要由运放自身的寄生参数和极低的反馈电阻决定，导致环路增益的波特图主要由运放自身的开环特性（单极点响应）主导。这提示我们在设计补偿器时，运放的带宽往往是限制环路带宽的主要因素。

练习 3：application

题目：根据反馈定理，闭环传递函数 $G(s)$ 可以分解为包含理想正向增益 $G_{\mathrm{\infty }}$、直接传输增益 $G_0$ 和环路增益 $T$ 的形式（公式 13.1）。请利用互易关系 $T=T_n\cdot (G_{\mathrm{\infty }}/G_0)$ 来简化分析过程。假设你已经通过简单的电路分析计算出了以下三个量：

1. 理想正向增益 $G_{\mathrm{\infty }}(s)=-10\cdot (1+s/1000)$
2. 直接传输增益 $G_0(s)=0.01$ （假设为常数）
3. 空环路增益 $T_n(s)=1000/(1+s/{10}^5)$

请计算：

1. 实际的环路增益 $T(s)$ 表达式。
2. 在低频处（$s\to 0$）的闭环增益 $G(0)$ 近似值。

答案与解析

答案：1. $T(s)=-{10}^6\cdot \frac{1+s/1000}{1+s/{10}^5}$ 2. $G(0)\approx -10$

解析：这是一个利用公式进行定量计算的题目。

1. 根据互易关系公式 $T=T_n\cdot (G_{\mathrm{\infty }}/G_0)$，代入已知数值： $T(s)=\frac{1000}{1+s/{10}^5}\cdot \frac{-10(1+s/1000)}{0.01}=1000\cdot (-1000)\cdot \frac{1+s/1000}{1+s/{10}^5}=-{10}^6\frac{1+s/1000}{1+s/{10}^5}$。 这说明环路增益在低频时非常大 (${10}^6$ 或 120dB)，并包含一个零点和一个极点。
2. 在低频处 $s\to 0$，环路增益 $|T(0)|={10}^6$ 远大于 1。 根据闭环增益公式 $G(s)=G_{\mathrm{\infty }}\frac{T}{1+T}+G_0\frac{1}{1+T}$，当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时，第一项趋近于 $G_{\mathrm{\infty }}$，第二项趋近于 0。 所以 $G(0)\approx G_{\mathrm{\infty }}(0)=-10\cdot (1+0)=-10$。 这验证了高环路增益可以强制闭环增益等于理想正向增益 $G_{\mathrm{\infty }}$ 的结论。

练习 4：thinking

题目：文中的 13.4 节（预告）提到将反馈定理应用于 Buck 变换器闭环调节器的分析。如果我们考虑输入电压 $V_g$ 的扰动对输出电压 $V$ 的影响（即线-输出传递函数），这属于“扰动传递函数”的一种。

对比传统的通过拆分控制框图（控制模块、功率级模块、反馈模块）来求取闭环音频敏感度的方法，使用 Middlebrook 反馈定理直接在电路上进行“零双注入”分析的主要优势是什么？请结合“直接传输增益 G0”的物理意义进行说明。

答案与解析

答案：主要优势在于不需要预先识别或分离独立的控制模块，且能自动包含所有非理想负载效应和双向信号传输的影响。G0 在此背景下代表了环路失效（T=0）时的开环扰动传递函数，反映了功率级固有的抗干扰能力。

解析：这是一个深度思考题，考察对方法论的对比理解。

1. 传统方法通常需要人为地定义哪里是“控制器”，哪里是“对象”，并假设信号是单向流动的（例如假设反馈网络不加载功率级，或功率级输出阻抗为零）。如果电路存在双向传输（如输入滤波器与变换器之间的相互作用），这种框图分析法会变得非常复杂甚至不准确。
2. **反馈定理（D-OA）**通过在注入点进行“思想实验”（置零或空注入），直接在整体电路上求解传递函数。
   • 在求解线-输出传递函数时，$G_0$ 代表了当反馈环路断开（$T=0$）时，输入电压扰动如何直接传递到输出。这是开环情况下最坏情况的扰动。
   • $T$ 则代表了环路抑制这种扰动的能力。
   • 最终结果 $G=G_{\mathrm{\infty }}\frac{T}{1+T}+G_0\frac{1}{1+T}$ 实际上是在描述：高环路增益（$T$大）会将系统的实际响应“拉近”至理想响应 $G_{\mathrm{\infty }}$（对于扰动，我们希望 $G_{\mathrm{\infty }}$ 为 0），并抑制由 $G_0$ 描述的开环扰动传输。 这种方法无需关心具体的拓扑结构（是 Buck 还是 Boost），也不需要手动推导框图的代数运算，特别适合处理具有复杂交互（如 EMI 滤波器效应）的系统。

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要点提炼

传统单向方框图分析法在面对输入滤波器振荡、运放带宽受限或数字控制延迟等真实电路效应时往往失效，因为它忽略了电路模块之间双向的负载效应。本章引入 Middlebrook 反馈定理作为核心工具，通过“零双注入”技术（即不物理断开环路，而是通过数学思想实验置零特定信号），在保持电路阻抗拓扑完整的前提下，精确解析系统的环路增益和闭环传递函数，从而解决模型破碎的问题。

反馈定理将闭环系统的总传递函数 $G(s)$ 分解为理想增益 $G_{\mathrm{\infty }}$ 和直接传输增益 $G_0$ 的加权组合：$G=G_{\mathrm{\infty }}\frac{T}{1+T}+G_0\frac{1}{1+T}$。其中，$G_{\mathrm{\infty }}$ 代表环路增益无穷大时的理想闭环特性（如运放的虚短状态），$G_0$ 代表前向通路断开后信号通过反馈网络的“泄漏”，而 $T$ 是决定权重的环路增益。这种分解方式清晰地揭示了系统特性如何在“理想设计”与“物理现实”之间随反馈强弱而滑动。

通过引入“空环路增益” $T_n$（即在输出置零条件下推导出的环路参数），可以建立极其有用的互易关系 $T=T_n\frac{G_{\mathrm{\infty }}}{G_0}$。这一关系提供了一种计算捷径：由于 $T_n$ 通常比 $T$ 更容易推导（因为它往往排除了复杂的负载效应），工程师只需算出简单的 $G_{\mathrm{\infty }}$、$G_0$ 和 $T_n$，即可反推出原本极其复杂的真实环路增益 $T$，且结果自动保持因式分解形式，便于设计。

将反馈定理应用于运放 PD 补偿器实例揭示了“理想运放”假设的致命陷阱：虽然理想计算显示补偿器完美，但考虑到运放有限的增益带宽积（GBW）和输出电阻后，实际环路增益 $T(s)$ 会在高频段额外引入一个极点。这个隐形极点会大幅削减相位裕度（例如从预期的稳定状态降至仅 14 度），导致系统发生高频振荡，这直观地说明了解析非理想器件行为对稳定性的决定性影响。

在闭环调节器（如 Buck 变换器）的全系统分析中，反馈定理同样能够解耦并量化三大关键指标：参考跟踪精度（由 $1+T$ 将误差压制）、音频敏感度（由 $1+T$ 抑制输入扰动）以及输出阻抗（由 $1+T$ 降低阻抗）。这种方法证明了反馈系统的核心逻辑是利用环路增益 $T$ 在低频段的巨大幅值，强制系统行为逼近由无源元件定义的理想值 $G_{\mathrm{\infty }}$（如零输出阻抗或完美跟踪），从而实现鲁棒控制。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。