第 5 章 当电流断流之后：重新审视拓扑

本章的核心问题：上一章我们建立的变换器模型，都基于一个没明说但极其关键的假设——电感里的水从没流干过。如果这个假设不成立了，我们之前推导出的那些漂亮的电压转换公式，还有效吗？

这一章我们要处理的，正是这个让所有新手电源工程师掉过坑的问题：断续导通模式（Discontinuous Conduction Mode, DCM）。

这不仅仅是一个「公式修正」的问题。一旦进入 DCM，变换器的本质就变了——它从一个电压源变成了一个类电流源，它的输出特性开始紧紧依赖负载电阻，而不再只听命于占空比。

如果你在实际调试电源时，发现明明加大了占空比但输出电压却不升反降，或者轻载时输出电压飘忽不定，大概率就是撞上了这个模式。本章的任务，就是搞清楚它是什么时候发生的、为什么发生，以及当它发生时，我们该如何重新描述这个世界。

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5.1 断流是怎么发生的？——寻找 CCM/DCM 的边界

让我们回到 Buck 变换器这个最简单的案发现场。

为了看清问题，我们需要盯着两个波形不放：电感电流 $i_L(t)$ 和 二极管电流 $i_D(t)$。

（背景：连续导通模式 CCM） 在第 2 章里，我们其实一直生活在一个「舒适区」里，也就是连续导通模式（CCM）。那时候的电感电流波形长这样：

• 它有一个直流分量 $I$（也就是负载电流）。
• 它上面叠加了一个三角形的纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$（峰峰值）。

在二极管导通的那段时间（也就是第二个子区间），二极管电流和电感电流是一样的。那时候的世界很简单，二极管一直有电流流过，像个勤劳的搬运工。

但这有一个前提：二极管是个单向阀。它只允许电流往一个方向流。如果在周期末尾，电感电流想往回流，二极管会直接说「不干」，然后截止。

这个「单向阀」特性，就是引发整个故事的导火索。

5.1.1 从波形图里看到的临界点

在 CCM 的世界里，电感电流 $i_L(t)$ 的最小值出现在二极管导通结束的时候。为了保证二极管一直开心地工作，这个最小电流必须大于零。

用数学语言说就是：

$$I>\mathrm{\Delta }{i}_L\text{(CCM 条件)}$$

如果这个不等式不成立了，世界就会翻转。

让我们来拆解一下这两个量：直流分量 $I$ 和纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$。

1. 直流分量 $I$：它看负载的脸色

在稳态下，电容 $C$ 不会吞吐任何直流电流（电容的电压最终会稳定，平均电流为 0）。这意味着，电感的直流电流 $I$ 必须全部分给负载电阻 $R$。

根据欧姆定律：

$$I=\frac{V}{R}(5.1)$$

注意这里的变量关系：$I$ 和负载电阻 $R$ 密切相关。负载越重（电阻 $R$ 越小），电流 $I$ 越大；负载越轻（电阻 $R$ 越大），电流 $I$ 越小。

2. 纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$：它看电压和电感的脸色

再看纹波的大小。在第 2 章我们推导过，纹波的峰峰值 $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 取决于开关导通时加在电感上的电压 $(V_g-V)$、导通时间 $D{T}_s$ 以及电感量 $L$。

$$\mathrm{\Delta }{i}_L=\frac{(V_g-V)D{T}_s}{L}=\frac{V_{g}D{D}^{\prime }{T}_s}{2L}(5.2)$$

这行公式里藏着一个反直觉的事实： 纹波幅度 $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 与负载电阻 $R$ 无关。

它只关心输入输出了多少电压、开关切得有多快、以及电感有多大。至于后面接的是 $10\mathrm{\Omega }$ 还是 $1k\mathrm{\Omega }$ 的电阻，它根本不在乎。

3. 临界时刻：当 $I$ 遇上 $\mathrm{\Delta }{i}_L$

现在，想象你在调试这个电路。负载电阻 $R$ 从一个很小的值开始慢慢增大（模拟负载越来越轻）。

• $I$ 会怎么做？ 随着 $R$ 变大，根据式 (5.1)，直流分量 $I$ 会减小。
• $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 会怎么做？ 纹波 $\mathrm{\Delta }{i}_L$ 会完全淡定地保持不变。

这就好比潮汐（纹波）的高度不变，但水位（直流分量）在不断下降。

如果 $R$ 一直增大，总有一个时刻，电感电流的直流分量会跌到和纹波的幅度一样大。此时，波谷刚好触碰到零点。

$$I=\mathrm{\Delta }{i}_L$$

这就是我们要找的边界。 在这个点上，电感电流 $i_L(t)$ 和二极管电流 $i_D(t)$ 在周期结束时刚好归零。注意，它们只是「刚好」归零，还没有变成负数。

5.1.2 越过边界：进入 DCM

如果你继续增大负载电阻 $R$，让负载电流 $I$ 进一步减小，会发生什么？

二极管是单象限开关，它不允许负电流。 一旦电流试图反向，二极管会立刻反向偏置，强行切断通路。

于是，波形发生了质变。原本两个阶段的周期，变成了三个阶段：

1. 子区间 1 ($0<t<D_1{T}_s$)：晶体管 $Q_1$ 导通，电感充能，电流上升。
2. 子区间 2 ($D_1{T}_s<t<(D_1+D_2)T_s$)：晶体管关断，二极管 $D_1$ 导通，电感放能，电流下降。注意：在这个区间结束时，电感电流已经归零了。
3. 子区间 3 ($ (D_1 + D_2) T_s < t < T_s$)：这是新出现的阶段。二极管已经没电流了，它没法反向导通；晶体管还是关断的。所以，在这个时间段里，两者都不导通。电感电流维持在零，直到下个周期开始。

这就是断续导通模式（DCM）。名字很直白——电流断了一会儿，歇着了。

5.1.3 用数学划出楚河汉界

既然我们知道了临界点是 $I=\mathrm{\Delta }{i}_L$，我们就能把 CCM 和 DCM 的判据写下来。

代入式 (5.1) 和 (5.2)：

$$\frac{V}{R}<\frac{V_{g}D{D}^{\prime }{T}_s}{2L}$$

整理一下，把 $L$、$R$、$T_s$ 这些核心参数凑在一起：

$$\frac{2L}{R{T}_s}<D^{\prime }(5.5)$$

这里诞生了一个非常重要的无量纲参数 $K$：

$$K=\frac{2L}{R{T}_s}(5.6)$$

你可以把 $K$ 理解为变换器的「惯性系数」。

• $L$ 越大，惯性越大；
• $R$ 越大（负载越轻），惯性相对越小；
• $T_s$ 越小（频率越高），惯性也越小。

有了 $K$，我们的判据就变成了极其简洁的形式：

$$K<K_{crit}(D)\Rightarrow \text{DCM}$$$$K>K_{crit}(D)\Rightarrow \text{CCM}$$

对于 Buck 变换器，这个临界值是：

$$K_{crit}(D)=D^{\prime }=(1-D)$$

这个边界可以用直觉在脑子里画出来：横坐标是占空比 $D$，纵坐标是 $K_{crit}$。 如果你选的 $K$ 值比较小，那么在低占空比时，你很容易掉进 DCM 的坑里；只有当占空比足够大，使得 $K_{crit}$ 降到比你的 $K$ 还低时，你才会回到 CCM 的安全区。

反过来，如果你选的 $K$ 很大（大电感、重负载），那么无论 $D$ 是多少，$K$ 都永远大于 $K_{crit}$，你永远工作在 CCM。

5.1.4 回到负载电阻 $R$ 的视角

虽然 $K$ 很优雅，但在工程现场，我们更习惯问：「这个电阻值够不够大，会进入 DCM 吗？」

我们可以把式 (5.6) 变形一下，解出 $R$ 的边界：

$$R<R_{crit}(D)\Rightarrow \text{CCM}$$$$R>R_{crit}(D)\Rightarrow \text{DCM}$$

其中临界电阻 $R_{crit}$ 定义为：

$$R_{crit}(D)=\frac{2L}{D^{\prime }{T}_s}(5.7)$$

这句话读起来很顺口： 负载电阻 $R$ 超过临界值 $R_{crit}$，进入 DCM；低于临界值，保持 CCM。

值得注意的是，因为 $D^{\prime }\le 1$，所以 $R_{crit}$ 的最小值是 $2L/T_s$。这意味着： 如果你的负载电阻 $R$ 特别小（$R<2L/T_s$），那无论你怎么调占空比，这电路都死不出 DCM，稳稳地工作在 CCM。

5.1.5 这个结论对其他拓扑适用吗？

当然适用。

虽然上面的推导是用 Buck 电路做的，但关于 $K$ 参数的定义以及边界判定公式，是通用的语言。只不过，Boost 和 Buck-Boost 的 $K_{crit}(D)$ 长得不一样而已。

表 5.1 给出了三大基本拓扑的「通关密码」。

Converter	$K_{crit}(D)$	$R_{crit}(D)$
Buck	$(1-D)$	$\frac{2L}{(1-D)T_s}$
Boost	$D(1-D{)}^2$	$\frac{2L}{D(1-D{)}^2{T}_s}$
Buck-Boost	$(1-D{)}^2$	$\frac{2L}{(1-D{)}^2{T}_s}$

你可以看到，Boost 电路最娇气，它的 $K_{crit}$ 最大值只有 $4/27\approx 0.148$（在 $D=1/3$ 时）。这意味着对于 Boost 电路，想让它一直保持在 CCM 其实挺难的，稍微负载轻一点，它就溜去 DCM 了。

最后提一句，如果你的负载不是纯电阻（比如后面接了一个复杂的机架），我们依然可以用「有效负载电阻」 $R=V/I$ 来套用这些公式。这依然是等效电路思维的胜利。

踩坑提醒：我见过最隐蔽的一种 DCM 漂移，是电源在「额定负载」时完美工作，一到深夜待机（负载电流从几安培掉到几十毫安），输出电压就偷偷飘高 10%~20%，把后级 MCU 烧了。根因就是 $R$ 涨了上百倍，$K$ 缩成原来的零头，Buck 从 CCM 滑进了 DCM，而占空比 $D$ 还按 CCM 的 $V=D{V}_g$ 在算。所以做轻载设计时，先把 $K$ 与 $K_{crit}$ 在最轻负载点对一遍，确认它会不会进 DCM——这比相信「占空比定一切」靠谱得多。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。