15.6 习题：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行

这一章我们一路从 DCM 的物理直觉推到了平均开关模型，最后甚至用 CCM-DCM1 搞定了一个通用的仿真模型。

但这套东西真的好用吗？

如果你合上书，凭空去想，你可能会觉得这套逻辑无懈可击。可一旦真的拿起笔去推导一个稍微变形一点的电路，或者试图把那些 $s$ 域的传递函数和物理时间域对应起来，你会发现有些地方的连接非常脆弱。

下面这几道题，就是要把这些连接处重新焊死。特别是关于那个高频极点和 RHP 零点的部分，如果你不动手算一遍 Boost 的控制-输出传递函数，你永远不知道教科书上的那个简化公式到底隐藏了多少细节。

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15.1 反激变换器的平均开关建模

想象一个工作在断续导通模式（DCM）下的反激变换器。

这东西是实际工程里最常用的拓扑之一，但它的模型推导却最容易让人晕头转向——因为那个变压器不仅是个磁性元件，还是个隔离元件。我们怎么把前面讲的「无损电阻」模型套在这个有两个绕组的家伙身上？

电路参数：变压器匝数比 $1:n$，漏感忽略不计。励磁电感 $L_p$ 在初级侧。

(a) 波形素描与平均值推导

第一步永远是画波形。不要偷懒。

1. 画出晶体管 $Q_1$ 和二极管 $D_1$ 的电压、电流波形。
   • 提示：注意二极管电流 $i_D$ 的形状。在 DCM 下，它是一个三角形波，从某个值上升到峰值再降回零。晶体管电流 $i_Q$ 呢？它和 $i_D$ 是什么关系？
2. 推导它们的平均值表达式。
   • 你需要算出 $⟨v_Q⟩,⟨i_Q⟩,⟨v_D⟩,⟨i_D⟩$。
   • 这一步虽然繁琐，但这是建立「无损电阻」模型的基础——只有算出了端口平均量，才能去凑那个等效电阻 $R_e$。

(b) 平均模型的构建

现在把波形抛开，拿出你的电路直觉。

1. 画出包含无损电阻网络的平均模型。
   • 变压器在平均模型里怎么处理？理想变压器部分保留，励磁电感 $L_p$ 是保留还是被平均掉了？
   • 开关网络（晶体管+二极管）应该被替换成什么？回想一下本章的核心结论：DCM 下的开关网络输入端看进去像一个电阻，输出端看进去像一个功率源。
2. 给出 $R_e(d)$ 的表达式。
   • 这里的 $R_e$ 和我们以前推导的 Buck-Boost 的 $R_e$ 是一模一样的形式吗？还是说因为变压器的存在，它有了系数 $n$ 的介入？写出来看看。

(c) 直流电压转换比

有了模型，这就变成了一道初中电路题。

1. 利用你的模型求解电压比 $V/V_g$。
   • 在 DCM 下，这个比值不再是简单的 $D\cdot n$ 或者 $D/(1-D)$ 这种简单的形式。它应该和负载电阻 $R$ 以及 $R_e$ 有关。
   • 验证一下：当负载电阻 $R$ 变大（负载变轻）时，输出电压是不是会飘高？这符合 DCM 的物理直觉吗？

(d) 有效范围

模型不是万能的，它有边界。

1. 确定负载电流 $I$ 的有效范围。
   • 你的 (c) 问答案在什么条件下成立？换句话说，在什么条件下变换器会进入 CCM，从而导致你的 DCM 模型失效？
2. 用这个形式表达边界：$I<I_{crit}(D,R_e,V_g,n)$。
   • 这里的 $I_{crit}$ 就是临界电流。把它写出来，你会发现它和电感 $L_p$、开关频率 $f_s$ 以及占空比 $D$ 都有关。

(e) 小信号动态特性

最后一步，我们要动用 LFR（Loss-Free Resistor）模型的大招。

1. 推导小信号控制-输出传递函数 $G_{vd}(s)$。
   • 你可以忽略电感动态（也就是说，把电感 $L$ 视为短路，或者直接用那一阶近似的结论）。
   • 结果应该是一个一阶低通滤波器的形式。找到那个低频极点 ${\omega }_p$。

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15.2 非隔离 Watkins-Johnson 变换器的建模

再来看一个 Watkins-Johnson 变换器，也是工作在 DCM。

这个拓扑在教科书里不常见，但在某些特定的总线转换领域很受欢迎。它的有趣之处在于它有一个 $1:1$ 的变压器，但用法很巧妙。

电路参数：$1:1$ 匝数比，忽略漏感，励磁电感 $L$。

(a) 波形与平均量

和上一题一样，这是基本功。

1. 画出晶体管和二极管的电压、电流波形。
   • 这里的波形会比反激变换器稍微怪一点，因为有变压器的参与，电压会有台阶。
2. 推导它们的平均值。

(b) 平均模型

1. 画出无损电阻平均模型。
2. 给出 $R_e(d)$ 表达式。
   • 这里的 $R_e$ 是否会因为它是一个正激类（Forward-type）的派生拓扑而表现出不同的特性？

(c) 转换比 $M(D)$

1. 求解 $M(D)=V/V_g$。
   • 同样，指出这个表达式在什么负载电流范围内有效。

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15.3 伏安特性曲线：画出来的直觉

有时候，一张图胜过一千行公式。

题目：画出 Buck-Boost 变换器的稳态输出特性。

• 横轴：负载电流 $I$。
• 纵轴：输出电压 $V$。
• 条件：画出几个不同占空比 $D$ 下的曲线。
• 关键点：必须在图上清晰地标出 CCM（连续导通模式）和 DCM（断续导通模式）的边界。

思考一下：

• 在 CCM 区域，$V$ 随 $I$ 增大如何变化？（如果有寄生电阻，它会掉；如果是理想模型，它是水平的）。
• 在 DCM 区域，$V$ 随 $I$ 增大如何变化？（记住，DCM 就像一个内阻很大的电源）。
• 边界线是什么形状？是一条直线还是曲线？

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15.4 功率源的妙用：不仅仅是抽象模型

考虑下面这个包含功率源 $p(t)$ 的网络。

注意，这里的 $p(t)=1000{\cos }^2(377t)$。这不是一个电压源，也不是电流源，是一个功率源。这正是我们本章讨论的 DCM 模型的核心——二极管端口的输出特性。

题目：

• 电路工作在稳态。
• 求解电阻电压的有效值 $V_{R,rms}$。

思路引导：

1. $p(t)$ 提供的功率波形是什么样的？${\cos }^2$ 意味着功率是脉动的，频率是 $2\times 60=120Hz$。
2. 既然是稳态，说明电容上的电压和电感里的电流已经建立起了周期性的平衡。
3. 能量守恒在这里依然适用吗？或者说，平均功率守恒吗？
4. 这是一个很好的例子，让你意识到「功率源」不仅仅是一个数学构造，它真的接在电路里 behave 得很特别。

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15.5 公式验证：别盲目信书

表 15.3 给出了一系列简化的传递函数参数。

题目：验证表 15.3 中的 $G_{d0}$ 和 ${\omega }_p$ 表达式。

怎么做：

1. 挑一个拓扑（比如 Buck 或 Boost）。
2. 写出完整的交流等效模型。
3. 推导传递函数。
4. 观察在什么条件下，那个极点 ${\omega }_p$ 会退化成表里写的那个简单形式（通常涉及 $C$ 足够大或者 $L$ 足够小的假设）。

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15.6 Buck 变换器实战：数字跑一跑

这是一道标准的工程设计题。给定所有参数，让你算出模型的特征。

参数：

• $V_g=28V$
• $V=15V$
• $R=10\mathrm{\Omega }$
• $L=8\mu H$
• $C=220\mu F$
• $f_s=150kHz$

(a) 求 $R_e$

直接套公式，但要注意单位。

(b) 求静态占空比 $D$

利用你推导出的直流模型来反推 $D$。别忘了检查此时电路是不是真的处于 DCM（虽然题目说了是 DCM，但作为工程师，check 一下总是对的）。

(c) 画出波特图

这是重点。

1. 画出 $G_{vd}(s)$ 的幅频和相频曲线。
2. 标注关键特征值：低频增益、截止频率、穿越频率。
3. 忽略电感动态：这意味着你在画图时，那个高频极点被你扔掉了。这对你的带宽估计会有什么影响？会偏乐观还是偏悲观？

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15.7 Boost 变换器的高频真相：接近真相的一步

这大概是最难，也是最有意思的一道题。

我们在 15.5 节里含糊其辞地提到了「高频极点」，现在我们要把那层窗户纸捅破。针对 Boost 变换器，这次不要做 $L\approx 0$ 的近似。

(a) 完整的推导

1. 推导 $G_{vd}(s)$ 的解析表达式。
   • 特别是那个右半平面零点（RHP zero）频率 ${\omega }_z$。
   • 你会发现它和 $M,R_e,D,V_g,L$ 都有关。把它写出来。

(b) 极点分解

假设 $C$ 很大，$L$ 很小（这是典型的功率级设计特征），我们可以用低 $Q$ 近似把两个极点拆开。

1. 分解极点。
2. 证明：
   • 低频极点 ${\omega }_{p1}$ 匹配表 15.3 的公式。
   • 高频极点 ${\omega }_{p2}$ 匹配表 15.4 的公式。

这才是关键。 你会发现，这个高频极点其实就在开关频率 $f_s$ 附近。 而我们在 CCM 模型里，或者在一阶近似模型里，通常忽略了这个极点。 这意味着什么？ 意味着如果你的环路带宽设得很高（比如到了 $f_s/5$ 甚至更高），在 DCM 下，你实际上是在和一个接近 $f_s$ 的高频极点搏斗。那个相位跌落会远比你想象的要陡峭。

这道题做完了，你对 DCM 动态特性的敬畏感会提升一个档次。

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（本章完）

现在，回头看一眼本章开头的那个模型。你不仅知道了它怎么用，你还知道了它哪里会失效，以及在失效的边缘发生着什么。

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练习题

练习 1：understanding

题目：在断续导通模式 (DCM) 下，开关网络的小信号交流建模通常可以通过线性化处理得到一个双端口网络模型。对于本章推导出的那个通用 DCM 小信号模型，下列哪一项关于其输入端和输出端特性的描述是正确的？

A. 输入端口表现为受控电流源，输出端口表现为电阻 B. 输入端口表现为电阻 (r1)，输出端口表现为电阻 (r2) C. 输入端口表现为电阻 (r1)，输出端口表现为受控电流源 (g2v1, j2d) D. 输入端口和输出端口均表现为恒功率源

答案与解析

答案：C

解析：根据 15.3 节的小信号建模结果，DCM 开关网络线性化后的输入端口方程为 î1 = v̂1/r1 + j1d̂（因为 g1=0），这等效为一个电阻 r1 与受控电流源 j1d̂ 的并联，体现电阻特性；输出端口方程为 î2 = -v̂2/r2 + j2d̂ + g2v̂1，这包含一个等效电阻 r2、对应控制信号扰动的电流源 j2d̂ 以及对应输入电压扰动的电流源 g2v̂1。因此，整体上输入端表现为电阻特性（计及占空比扰动），输出端表现为受控电流源特性（含电阻项）。选项 C 最符合这一描述。

练习 2：application

题目：已知一个 DCM Buck 变换器，其参数为：输入电压 Vg = 12 V，开关频率 fs = 100 kHz (Ts = 10 μs)，负载电阻 R = 100 Ω。测得稳态输出电压 V = 6 V。请计算该变换器在 DCM 下的“无损耗电阻” Re 的值。

答案与解析

答案：200 Ω

解析：DCM 变换器遵循功率平衡原则。输入端口的功率消耗在等效电阻 Re 上，输出端口的功率消耗在负载电阻 R 上，且两者相等（无损网络）。输入功率 Pin = Vg² / Re，输出功率 Pout = V² / R。由 Pin = Pout 可得 Vg² / Re = V² / R。代入数值：12² / Re = 6² / 100 => 144 / Re = 36 / 100 => Re = 144 * 100 / 36 = 400 Ω/ = 400 / 2 = 200 Ω。

练习 3：thinking

题目：设计者在使用 SPICE 对一个 DC-DC 变换器进行仿真，该变换器可能在轻载时进入 DCM 模式，在重载时进入 CCM 模式。如果在模型中使用了本章介绍的有效开关转换比 μ (Effective Switch Conversion Ratio μ) 来构建平均开关模型，那么 μ 在 CCM 和 DCM 中分别由什么决定？这种通用模型为何能自动切换模式？

答案与解析

答案：在 CCM 中，有效开关转换比 μ 等于占空比 d (μ = d)；在 DCM 中，μ 取决于端口电压和电流（或取决于 d, K 等参数），且 μ < 1 - d。该模型能自动切换是因为它基于不依赖特定模式假设的基本物理量（如端口能量平衡）构建，其表达式或等效电路（如包含饱和特性的受控源）在仿真计算中会根据当前的收敛状态变量（电压、电流）自动收敛到对应的模式解，无需人工判断边界。

解析：根据 15.4 节内容，有效开关转换比 μ 是为了统一 CCM 和 DCM 而提出的。在 CCM 下，开关网络表现得像理想变压器，变比即为占空比 d。在 DCM 下，开关网络表现为“无损耗电阻”，其输入输出电压关系受负载影响，μ 变为关于端口平均电压和电流的函数。在 SPICE 等仿真器中，由于 μ 的模型（或底层的状态方程）是非线性的且连续的，求解器会根据当前的电路状态（电感电流是否为 0）自动计算出符合物理规律的工作点。如果电感电流波形底部触及零点，数学上会自然满足 DCM 的约束条件（如伏秒平衡中的 d3>0），从而实现模式的自动切换。

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要点提炼

DCM（断续导通模式）不仅仅是开关纹波的变化，而是变换器动力学层面的降维。在这一模式下，电感电流在每个开关周期末尾都会归零，导致电感在动态过程中仿佛变得“透明”且两端平均电压近似为零（$⟨v_L⟩\approx 0$）。这意味着不能直接套用 CCM（连续导通模式）的二阶模型，否则相位裕量和实测结果会出现巨大偏差，必须寻找全新的描述语言。

DCM 变换器的核心物理特征可以用“无损电阻（LFR）模型”来概括。在这个平均模型中，输入端在数学上等效为一个阻值受控于占空比 $d_1$ 的有效电阻 $R_e=\frac{2L}{d_1^2{T}_s}$（它只吃功率不发热）；而输出端则等效为一个受控功率源，其输出功率严格等于输入功率（$P_{out}=V_{in}^2/R_e$）。这种“输入呈现电阻特性，输出呈现功率恒定”的机制，从根本上改变了变换器的端口行为。

基于 LFR 模型推导出的低频小信号模型是一个一阶系统。与 CCM 不同，DCM 在低频下可以将电感视为短路，系统主要由输出电容和负载电阻决定。这使得 DCM 变换器的传递函数通常只有一个低频极点（$f_p=\frac{1}{(R\parallel r_2)C}$），且没有显著的低频右半平面零点。因此，DCM 变换器通常比 CCM 更容易进行环路补偿，具有更宽的带宽和更简单的相位特性。

为了在仿真中统一处理 CCM 和 DCM，可以通过引入“有效开关转换比 $\mu (t)$”来构建通用模型。在 CCM 下，$\mu =d$；而在 DCM 下，$\mu$ 变成了负载和电压的函数（$\mu =\frac{1}{1+\frac{R_e⟨i_1⟩}{⟨v_2⟩}}$）。通过取这两种计算结果的较大值，CCM-DCM1 这类通用仿真子电路能自动切换模式，帮助工程师预测变换器在跨越 CCM/DCM 边界时的剧烈动态变化。

DCM 变换器在高频段表现出由采样-保持效应引起的“高频极点”。这是由于 PWM 调制器在开关关断时刻对控制信号进行采样，且电感电流扰动被展宽并持续了 $D_2{T}_s$ 的时间，产生类似纯延时的效果。通过 Padé 近似，这个高频极点通常位于 $\frac{f_s}{\pi D_2}$ 附近（接近 $1/3$ 开关频率），且低频模型可将其忽略，但若控制环路带宽设计过高，该极点及远高于开关频率的 RHP 零点仍会影响稳定性。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。