测量环路增益 | 硬件学习笔记

9.6 测量环路增益

模型只是模型，板子通了电才是真的。

我们在波特图上画了半天线，算出了完美的穿越频率和相位裕度，但这只是纸面上的胜利。作为一个工程师，当你把电源板焊好、上电的那一刻，真正的审判才刚刚开始。

为什么要测？

因为现实世界总是充满「惊喜」。原理图里没画进去的寄生参数、元器件的误差、还有无处不在的噪声和电磁干扰（EMI），这些都会让实际系统的表现偏离你的理想模型。更别提有时候某些未预料的高频极点会突然冒出来，直接把你的相位裕度吃光，导致系统震荡。

所以，测量原型机的环路增益 $T (s)$ ，不仅是为了验证设计，更是为了排除故障。我们需要确认：系统在物理层面上是否真的像我们想的那样工作？

9.6.1 最直观的办法：断开环路？

让我们回到之前那个反馈系统的框图。如果我们想在某个点 $A$ 测量环路增益，最直觉的想法是：把环路断开。

在点 $A$ 一斧子两断：

在断点处注入一个交流信号 ${\hat{v}}_{z} (t)$ 。
为了维持直流工作点，我们用一个直流电源 $V_{C C}$ 和一个电位器，手动调节断点处的直流电压 ${\hat{v}}_{x}$ ，强迫系统工作在正确的静态工作点（Quiescent Point）。
用网络分析仪测量 ${\hat{v}}_{y}$ 和 ${\hat{v}}_{x}$ ，计算传输函数：

T_{m} (s) = \frac{{\hat{v}}_{y} (s)}{{\hat{v}}_{x} (s)} |_{{\hat{v}}_{r e f} = 0, {\hat{v}}_{g} = 0}

听起来很合理？

但这在实际操作中简直是噩梦。

噩梦的根源在于：你必须手动调节那个直流电位器。

尤其是当你用了 PI 补偿器时，系统的直流增益大得离谱。断点处的直流电压稍微偏那么一点点——哪怕只偏了 1 毫伏——误差放大器就会饱和，输出直接顶天或者立地。你在调节电位器的时候，会发现系统极其敏感，手稍微抖一下，工作点就跑飞了。更糟糕的是，随着器件发热，直流工作点还会漂移。你可能好不容易调好了，一松手，系统又震荡了。

而且，还有一个隐蔽的问题：负载效应。当你断开环路时，你实际上把 Block 2（后级）的输入阻抗 $Z_{2}$ 从 Block 1（前级）的输出端拿走了。这样测出来的增益 $T_{m} (s)$ 是：

T_{m} (s) = G_{1} (s) G_{2} (s) H (s)

但真实的环路增益 $T (s)$ （包含负载效应）是：

T (s) = \frac{Z_{2} (s)}{Z_{1} (s) + Z_{2} (s)} G_{1} (s) G_{2} (s) H (s)

两者之间的关系是：

T_{m} (s) = T (s) (1 + \frac{Z_{1} (s)}{Z_{2} (s)})

除非你的断点选得特别好，满足 $| | Z_{2} | | ≫ | | Z_{1} | |$ （即后级阻抗远大于前级阻抗），否则测量结果就是错的。但这太难保证了。

结论：断开测量法既难操作，又容易不准。 我们需要一个「不打扰系统睡觉」的方法。

9.6.2 电压注入法：不断开环路

与其暴力断开环路，不如悄悄地往里「注点水」。

电压注入法的核心思想是：不切断直流路径。我们通过一个隔直电容，把交流信号源 ${\hat{v}}_{z}$ 串联接入到反馈环路中。

这样做的好处显而易见：

直流工作点自稳定：因为环路没断，系统自己会把直流电压锁定在正确的工作点上。你不需要再去摆弄那个要命的电位器。
真实场景：测量是在系统实际运行的条件下进行的，结果更可信。

怎么测？ 把网络分析仪的信号注入到 ${\hat{v}}_{z}$ ，然后测量 ${\hat{v}}_{y}$ 和 ${\hat{v}}_{x}$ 。测得的增益 $T_{v} (s)$ 定义为：

T_{v} (s) = \frac{{\hat{v}}_{y} (s)}{{\hat{v}}_{x} (s)} |_{{\hat{v}}_{r e f} = 0, {\hat{v}}_{g} = 0}

它等于真实的 $T (s)$ 吗？ 让我们推一遍。看着注入点的信号关系，误差信号 ${\hat{v}}_{e}$ 可以表示为：

{\hat{v}}_{e} (s) = - H (s) G_{2} (s) {\hat{v}}_{x} (s)

电压 ${\hat{v}}_{y}$ 由前向增益产生的电压和源阻抗 $Z_{1}$ 上的压降共同决定：

- {\hat{v}}_{y} (s) = G_{1} (s) {\hat{v}}_{e} (s) - \hat{i} (s) Z_{1} (s)

把 ${\hat{v}}_{e}$ 代进去，整理一下，得到：

- {\hat{v}}_{y} (s) = - {\hat{v}}_{x} (s) G_{2} (s) H (s) G_{1} (s) - \hat{i} (s) Z_{1} (s)

而流过 $Z_{1}$ 的电流 $\hat{i}$ 就是流过 $Z_{2}$ 的电流：

\hat{i} (s) = \frac{{\hat{v}}_{x} (s)}{Z_{2} (s)}

最后整理出 ${\hat{v}}_{y}$ ：

{\hat{v}}_{y} (s) = {\hat{v}}_{x} (s) (G_{1} (s) G_{2} (s) H (s) + \frac{Z_{1} (s)}{Z_{2} (s)})

所以测出来的 $T_{v} (s)$ 是：

T_{v} (s) = \frac{{\hat{v}}_{y} (s)}{{\hat{v}}_{x} (s)} = G_{1} (s) G_{2} (s) H (s) + \frac{Z_{1} (s)}{Z_{2} (s)}

回忆一下真实的 $T (s)$ 公式，我们可以把 $T_{v} (s)$ 拆成两部分：

T_{v} (s) = T (s) (1 + \frac{Z_{1} (s)}{Z_{2} (s)}) + \frac{Z_{1} (s)}{Z_{2} (s)}

这就是电压注入法的真相。

这个公式告诉我们：测量结果 $T_{v} (s)$ 不完全等于 $T (s)$ ，它多了一项 $\frac{Z_{1}}{Z_{2}}$ 。什么时候可以忽略这个误差？必须同时满足两个条件：

负载效应小： $| | Z_{1} | | ≪ | | Z_{2} | |$ 。
环路增益大： $| | T (s) | | ≫ | | \frac{Z_{1} (s)}{Z_{2} (s)} | |$ 。

这里有一个反直觉的坑： 在低频和中频段， $T (s)$ 通常很大（比如 60 dB），这时候 $\frac{Z_{1}}{Z_{2}}$ 这项确实可以忽略。但是在高频段，真实的环路增益 $T (s)$ 会掉得很低（比如 -20 dB）。如果这时候 $\frac{Z_{1}}{Z_{2}}$ 只有 -20 dB，那么测出来的结果就不是环路增益了，而是两个寄生项在打架——你的数据就废了。

实战案例 假设我们在一个运放输出端注入，运放输出阻抗 $Z_{1} = 50 Ω$ ，负载 $Z_{2} = 500 Ω$ 。那么 $\frac{Z_{1}}{Z_{2}} = 0.1$ ，也就是 -20 dB。

看这种情况下的波特图：

在低频，真实 $T (s)$ 是 80 dB，测量误差（1.1 倍，0.83 dB）完全可以接受。
但在高频，当 $T (s)$ 衰减到接近 -20 dB 甚至更低时，测出的曲线 $| | T_{v} | |$ 会出现奇怪的零点，相位开始乱跑。
这意味着：如果你的注入点选得不好（阻抗比太大），你在穿越频率 $f_{c}$ 附近测出的相位裕度可能是错的！

9.6.3 电流注入法：对偶的选择

电压注入法有个兄弟叫电流注入法。原理完全一样，只是这次我们用诺顿等效电路——注入电流，测电流。

在这个对偶世界里，误差分析也是对偶的。为了让测量值 $T_{i} (s)$ 约等于真实值 $T (s)$ ，你需要：

T_{i} (s) \approx T (s)

前提是：

$| | Z_{2} | | ≪ | | Z_{1} | |$ （注意和电压法反过来了）。
$| | T (s) | | ≫ | | \frac{Z_{2} (s)}{Z_{1} (s)} | |$ 。

电流注入法通常用一个戴维南源串联一个大电阻或者电感来实现。 选哪一个？ 看你的电路哪里阻抗匹配方便。如果前级是低阻抗输出（运放），后级是高阻抗输入，那就用电压注入。反过来，可能电流注入更合适。

9.6.4 终极绝招：测量不稳定的系统

最崩溃的情况是什么？是你满怀信心地上电，结果板子直接起振了，输出电压在疯狂抖动。

这时候你想测环路增益找出问题，但网络分析仪需要稳定的系统才能扫频。这是一个死循环：板子不稳不能测，不测不知道哪里不稳。

破解这个死循环的方法藏在公式里。

回头看电压注入法那个公式，你会发现注入源的内阻 $Z_{s}$ 并没有出现在最终的表达式里。这意味着：我们可以在注入点串联一个电阻 $R_{e x t}$ ，而不改变（或几乎不改变）测量的结果 $T_{v} (s)$ 。

但是！串联这个电阻会改变真实系统的环路增益 $T (s)$ —— 通常它会降低增益，从而让系统变稳定。

操作步骤如下：

在注入点串联一个大电阻 $R_{e x t}$ 。
这个电阻引入了巨大的衰减，把原本震荡的系统压稳定了。
现在系统不震了，你可以用网络分析仪安心测量 $T_{v} (s)$ 。
因为 $R_{e x t}$ 不影响测量公式的有效性（只影响被测系统的稳定性），测出来的曲线就近似代表了原本不稳定系统的环路特性。

唯一要注意的是：为了不影响直流工作点，通常用一个电感 $L_{e x t}$ 来旁路这个 $R_{e x t}$ （或者干脆就是 $R_{e x t}$ 配合隔直电容）。只要电感够大，在测量频段内它就是开路，既保留了对交流震荡的抑制作用，又维持了直流电平。

这就是电源调试里的「外挂」。有了这一招，炸了的板子也能开口说话，告诉你它为什么炸。

本章小节收尾：测量是理论的最后一道防线。无论你的补偿器设计得多完美，如果波特图测出来相位裕度不足，那你的电源就是会在负载跳变时发出尖叫。而电压注入法，给了我们一双在通电状态下窥探系统内部运作的眼睛。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

9.6 测量环路增益 ​

9.6.1 最直观的办法：断开环路？ ​

9.6.2 电压注入法：不断开环路 ​

9.6.3 电流注入法：对偶的选择 ​

9.6.4 终极绝招：测量不稳定的系统 ​

9.6 测量环路增益

9.6.1 最直观的办法：断开环路？

9.6.2 电压注入法：不断开环路

9.6.3 电流注入法：对偶的选择

9.6.4 终极绝招：测量不稳定的系统