在 Boost 模型中计入半导体导通损耗

3.5 在 Boost 模型中计入半导体导通损耗

上一节我们在模型里加了个电阻 $R_{L}$ ，模拟了电感发热这个“不完美世界”的第一定律。

但如果你真的把这个模型拿到板子上去测，你会发现算出来的效率还是比实际高了一截。

为什么？

因为我们一直在回避两个房间里的大象：MOSFET 和二极管。

它们不是理想的开关。MOSFET 导通时有电阻 $R_{o n}$ ，二极管导通时有压降 $V_{D}$ 。这两样东西加进去，那个完美的“直流变压器”模型就会被“污染”，变成一个更真实、但也更丑陋的版本。

3.5.1 真实的波形：两个丑陋的子电路

让我们重新回到 Boost 电路图，这次把半导体器件的真实特性画出来。电路会在两个状态之间切换，每个状态都有一堆寄生参数在捣乱。

状态一：MOSFET 导通

当 MOSFET 开关闭合时（持续 $D T_{s}$ 时间），二极管是反向截止的（off）。电流流过 MOSFET 的导通电阻 $R_{o n}$ 。此时的电路方程很简单，就是一堆电压降串联：

v_{L} (t) = V_{g} - i R_{L} - i R_{o n}

根据小纹波近似，我们直接把瞬时电流 $i (t)$ 换成直流平均值 $I$ ：

v_{L} (t) \approx V_{g} - I R_{L} - I R_{o n}

状态二：二极管导通

当 MOSFET 断开时（持续 $D^{'} T_{s}$ 时间），电感电流强行把二极管点亮。这次电流不仅要流过电感电阻 $R_{L}$ ，还要流过二极管的正向压降 $V_{D}$ 和寄生电阻 $R_{D}$ 。

此时的电感电压方程变得有点拥挤：

v_{L} (t) = V_{g} - i R_{L} - V_{D} - i R_{D} - v

同样，为了简化计算，我们忽略纹波（或者说是用平均值替代）：

v_{L} (t) \approx V_{g} - I R_{L} - V_{D} - I R_{D} - V

这里的 $v$ 就是输出电压 $V$ 。你可以把这看作是电源电压 $V_{g}$ 减去沿途所有的“过路费”（电阻压降和二极管压降）后，剩在电感两端的净值。

3.5.2 推导平均模型：把两个状态揉在一起

现在我们要用电感伏秒平衡原则来把这半个周期的波形拼成一个直流方程。

电感电压 $v_{L} (t)$ 在一个周期内的直流分量必须为零（稳态条件）：

⟨ v_{L} ⟩ = \frac{1}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s}} v_{L} (t) d t = D ⟨ v_{L} ⟩_{o n} + D^{'} ⟨ v_{L} ⟩_{o f f} = 0

把刚才算出来的两个状态代入进去：

0 = D (V_{g} - I R_{L} - I R_{o n}) + D^{'} (V_{g} - I R_{L} - V_{D} - I R_{D} - V)

这个式子有点长，让我们把它展开、整理一下。把含有 $V_{g}$ 的放一起，含有电阻压降的放一起。

V_{g} (D + D^{'}) - I R_{L} (D + D^{'}) - D I R_{o n} - D^{'} V_{D} - D^{'} I R_{D} - D^{'} V = 0

因为 $D + D^{'} = 1$ ，这一项可以消掉很多系数。我们可以得到一个非常工整的方程：

V_{g} = I R_{L} + I D R_{o n} + D^{'} V_{D} + I D^{'} R_{D} + D^{'} V

这就是我们画等效电路图的依据。这个方程描述了一个回路：

电源是 $V_{g}$ 。
中间串了一堆电阻，分别是 $R_{L}$ 、 $D R_{o n}$ 、 $D^{'} R_{D}$ 。
还夹着一个电压源 $D^{'} V_{D}$ 。
最后是一个受控电压源 $D^{'} V$ 。

这就解释了那个回路模型的由来。注意看 $R_{o n}$ 前面那个系数 $D$ ——这就是我们说的“等效电阻”概念。

3.5.3 那个奇怪的“等效电阻”

这里有一个新手容易晕的地方：为什么电阻前面会有个 $D$ 或者 $D^{'}$ ？

真实电路里的 MOSFET 电阻 $R_{o n}$ 可不是脉动的，它是要么 $R_{o n}$ 要么无穷大。但在我们的平均模型里，我们想要的是一个连续的、直流的电路模型。

这里有一个关键的转换思路：

功率损耗 = I^{2} \cdot R_{o n} (仅在导通时)

平均功率损耗 = $D \cdot (I^{2} R_{o n}) = I^{2} \cdot (D R_{o n})$ 。

你看，如果我们把一个阻值为 $D R_{o n}$ 的电阻持续串在回路里，它消耗的平均功率就和真实 MOSFET 一样了。这就是 $D R_{o n}$ 的物理意义——它是一个折算后的连续等效电阻。

同理，二极管的电阻 $R_{D}$ 只在 $D^{'}$ 时间内导通，所以它的等效电阻是 $D^{'} R_{D}$ 。

（类比第一次：建立映射） 你可以把这想象成“按时计费”的过路费。真实的收费站（MOSFET）只在白天（ $D$ 时间）收费，费率是 $R_{o n}$ 。为了简化我们的年度预算模型，我们把白天的费率折算成 24 小时平均费率——也就是 $D R_{o n}$ 。这样我们在算全年总账（平均功率）时，就不需要考虑“现在是不是白天”了，直接乘以平均费率即可。

3.5.4 组装完整的模型：电容节点的平衡

有了电感回路的方程，我们还需要电容节点的方程（电容电荷平衡）来把输出电压 $V$ 和负载电阻 $R$ 连起来。

根据电容电流 $i_{C}$ 在一个周期内平均值为零：

⟨ i_{C} ⟩ = D ⟨ i_{C} ⟩_{o n} + D^{'} ⟨ i_{C} ⟩_{o f f} = 0

MOSFET 导通时：二极管截止，电容给负载供电， $i_{C} = - V / R$ 。
二极管导通时：电感既给负载供电也给电容充电，此时流入电容节点的电流是 $(I - V / R)$ 。

代入计算：

0 = D (- \frac{V}{R}) + D^{'} (I - \frac{V}{R})

0 = - D \frac{V}{R} + D^{'} I - D^{'} \frac{V}{R}

D^{'} I = \frac{V}{R} (D + D^{'})

既然 $D + D^{'} = 1$ ，我们得到了一个非常简洁的 KCL 方程：

D^{'} I = \frac{V}{R}

这个方程对应的电路就是一个电流值为 $D^{'} I$ 的电流源流进并联的 $R$ 和 $C$ 。

3.5.5 最终的等效电路与真相揭露

现在我们把回路方程和节点方程这两张图拼起来。

你会发现，这两个受控源（ $D^{'} V$ 和 $D^{'} I$ ）其实构成了我们熟悉的老朋友——直流变压器，变比是 $D^{'} : 1$ 。

把它们整理一下，就得到了最终的等效电路。这个电路看起来比最初的理想模型复杂多了，但它诚实。

（类比第二次：揭示距离） 回到刚才那个“过路费”的类比。虽然我们用平均费率（ $D R_{o n}$ ）简化了计算，但不要忘了，这种折算是基于“车流量（电流 I）是恒定的”这个前提。如果车流量本身忽大忽小（纹波很大），那么按时计费和按次计费的结果就会出现偏差。在工程上，这意味着我们的平均模型假设纹波足够小。

3.5.6 解出输出电压：不再理想

有了完整模型，我们就可以用基尔霍夫定律或者简单的分压公式来解出输出电压 $V$ 。

这是一个简单的串并联电路。从电源 $V_{g}$ 往里看，先扣掉二极管压降 $D^{'} V_{D}$ ，剩下的电压在 $(R_{L} + D R_{o n} + D^{'} R_{D})$ 和折算后的负载电阻 $D^{' 2} R$ 之间分压。

注意这里负载电阻变成了 $D^{' 2} R$ ，因为它被反射到了变压器原边。

V = \frac{1}{D^{'}} ((V_{g} - D^{'} V_{D}) \cdot \frac{D^{' 2} R}{D^{' 2} R + R_{L} + D R_{o n} + D^{'} R_{D}})

整理一下，把那个 $\frac{1}{D^{'}}$ 乘进去：

V = \frac{(V_{g} - D^{'} V_{D})}{D^{'}} \cdot \frac{D^{' 2} R}{D^{' 2} R + R_{L} + D R_{o n} + D^{'} R_{D}}

这看起来有点吓人，但我们可以把它拆解成两部分来看：

理想部分： $\frac{V_{g}}{D^{'}}$ 。这是 Boost 变换器本该有的输出。
打折部分：后面那一大长串分数。这就是损耗。

如果所有电阻和 $V_{D}$ 都为零，后面那项就是 1，我们就回到了理想世界。

电压转换比 $M (D)$ ：我们可以把上面的式子除以 $V_{g}$ ，得到新的转换比：

\frac{V}{V_{g}} = \frac{1}{D^{'}} \frac{(1 - \frac{D^{'} V_{D}}{V_{g}})}{(1 + \frac{R_{L} + D R_{o n} + D^{'} R_{D}}{D^{' 2} R})}

这个式子告诉我们要想效率高，必须满足两个条件：

$V_{g} / D^{'} ≫ V_{D}$ ：输入电压得足够高，否则二极管那 0.7V（甚至硅管的压降）会吃掉很大比例的能量。
$D^{' 2} R ≫ R_{L} + \dots$ ：负载阻抗得足够大，或者说负载不能太重，否则线路上的电阻损耗会压垮电压。

3.5.7 计算效率：再也不能说 100% 了

效率 $η$ 是输出功率除以输入功率。现在有了模型，我们直接用电路里的变量算：

P_{i n} = V_{g} I

P_{o u t} = V (D^{'} I)

所以：

η = \frac{P_{o u t}}{P_{i n}} = \frac{V D^{'} I}{V_{g} I} = \frac{D^{'} V}{V_{g}}

把刚才算出来的那个复杂的 $V$ 代进去，就能得到完整的效率公式。你会发现，它必然小于 1。

3.5.8 验证模型的精度：关于纹波的再一次讨论

你可能会在这里产生一个合理的怀疑：“你把 MOSFET 的电阻 $R_{o n}$ 变成了 $D R_{o n}$ ，但这真的准吗？毕竟 MOSFET 的电流不是直流 $I$ ，而是有纹波的方波。”

这是一个非常棒的问题。说明你没有机械地接受公式，而是在思考模型的边界。

计算真实功率损耗，严格来说应该用 RMS（均方根）电流： $P = I_{r m s}^{2} R$ 。而我们的模型用的是平均电流 $I$ ： $P_{m o d e l} = I^{2} (D R_{o n}) = D I^{2} R_{o n}$ 。

这两者差多少？

（类比第三次：回收验证） 让我们回到那个“收费站”的类比。如果我们的车流量（电流）在白天是恒定的，那么“平均费率”模型就是完美的。但如果白天车流量忽高忽低（有纹波），收费站（MOSFET）其实收的是“按次平方收费”（因为功率 $P = i^{2} R$ ），这时候平均费率就会低估总费用。

为了回答这个疑虑，我自己拿 RMS 公式算了三种情况（纹波是三角波时，MOSFET 电流的 RMS 值近似为 $I_{r m s} \approx \sqrt{D (I^{2} + Δ i^{2} / 3)}$ ）：

情况：电感无穷大（ $Δ i = 0$ ） 电流是纯直流。MOSFET 的 RMS 电流 $I_{r m s} = \sqrt{D} I$ 。损耗 $P = (\sqrt{D} I)^{2} R_{o n} = D I^{2} R_{o n}$ 。 模型完美匹配。
情况：典型设计（ $Δ i = 0.1 I$ ） 这是工程上最常见的情况，纹波很小。真实的 RMS 电流算出来是 $1.00167 \sqrt{D} I$ 。真实损耗 = $1.0033 \times (D I^{2} R_{o n})$ 。 模型误差仅为 0.33%。
情况：糟糕的设计（ $Δ i = I$ ） 纹波大到了直流分量那么大。真实的 RMS 电流飙升到了 $1.155 \sqrt{D} I$ 。真实损耗 = $1.333 \times (D I^{2} R_{o n})$ 。 模型低估了 33% 的损耗！

这个结论告诉我们什么？ 只要我们遵守电感设计规则，保证纹波较小（比如 $Δ i ≪ I$ ），这个基于平均电流的等效模型就惊人地准确。 我们不需要动用复杂的 RMS 计算，就能得到很好的工程估算。

3.5.9 总结：当你打开潘多拉魔盒

通过这一节，我们把半导体器件的真实塞进了模型。

MOSFET 变成了 $D R_{o n}$ 。
二极管变成了 $D^{'} V_{D}$ 串上 $D^{'} R_{D}$ 。
效率不再是 100%，而是受负载、占空比和寄生参数共同影响的函数。

这看起来很繁琐，但这正是电源工程师的日常——在理想和现实之间架桥。理想模型告诉你“能做”，非理想模型告诉你“能做到多好”以及“代价是什么”。

一句直觉：拿到一个新拓扑，想快速估效率，先看两类损耗谁主导——重载（大电流）时是 $I^{2} R$ 型损耗（ $R_{L}$ 、 $R_{o n}$ ）的天下，轻载（小电流）时是固定压降 $V_{D}$ 型损耗的天下。这就是为什么 Boost 推到高占空比、或 Buck 跑在极轻载时效率都会塌：前者把电流顶上去、电阻损耗爆炸，后者把 $V_{D}$ 那个固定 0.2~0.7V 摊到很小的工作电流上、相对占比爆炸。两条曲线塌在不同端，但根子都是「寄生参数没被你的理想模型计入」。

（本节完）

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

3.5 在 Boost 模型中计入半导体导通损耗 ​

3.5.1 真实的波形：两个丑陋的子电路 ​

3.5.2 推导平均模型：把两个状态揉在一起 ​

3.5.3 那个奇怪的“等效电阻” ​

3.5.4 组装完整的模型：电容节点的平衡 ​

3.5.5 最终的等效电路与真相揭露 ​

3.5.6 解出输出电压：不再理想 ​

3.5.7 计算效率：再也不能说 100% 了 ​

3.5.8 验证模型的精度：关于纹波的再一次讨论 ​

3.5.9 总结：当你打开潘多拉魔盒 ​