第 18 章电流程序控制：当电感失去独立人格

18.1 简单一阶模型

有一类问题，表面上看是精度问题，实际上是复杂度问题。

我们在前面几章里，一直都在玩同一个游戏：调节占空比 $D$ 。这是经典的电压模式控制（Voltage Mode Control）。在这个世界里，你想控制输出电压，就得通过调整 PWM 的脉宽来改变电感上的平均电压。听起来很完美，对吧？只要数学算得准，输出电压就会乖乖听话。

但现实世界喜欢在这个完美假设上打脸。当输入电压剧烈抖动，或者负载突然短路，电感电流会瞬间冲上云霄——或者跌到谷底。单纯的电压环反应太慢了，因为它只能看着电压结果来反推，根本不知道中间发生了什么。

于是工程师们就想：如果我们不再「间接控制」电流，而是直接给电感电流立个规矩呢？

这就是本章要讲的主角——电流程序控制。我们在这一章会构建一个新的世界观：在这个世界里，电感不再是独立的储能元件，它变成了一个听话的「电流傀儡」。

但为了理解这个系统的脾气，我们必须先回到最简单的起点。

18.1.1 代数推导法：Buck-Boost 示例

在深入细节之前，让我们先确立目标：我们要为这个新的控制系统建立一个小信号模型。没有这个模型，设计反馈环路就是盲人摸象。

在第 7 章里，我们已经推导过 Buck-Boost 变换器在标准占空比控制下的状态方程。那是地基，我们现在要在这块地上盖新房子。

对于 Buck-Boost 电路，其小信号平均方程（式 7.44）是这样的：

L \frac{d {\hat{i}}_{L} (t)}{d t} = D {\hat{v}}_{g} (t) + D^{'} \hat{v} (t) + (V_{g} - V) \hat{d} (t) C \frac{d \hat{v} (t)}{d t} = - D^{'} {\hat{i}}_{L} (t) - \frac{\hat{v} (t)}{R} + I_{L} \hat{d} (t) {\hat{i}}_{g} (t) = D {\hat{i}}_{L} (t) + I_{L} \hat{d} (t)

写成拉普拉斯变换域（设初始条件为 0），就是我们熟悉的复频代数方程：

s L {\hat{i}}_{L} (s) = D {\hat{v}}_{g} (s) + D^{'} \hat{v} (s) + (V_{g} - V) \hat{d} (s) s C \hat{v} (s) = - D^{'} {\hat{i}}_{L} (s) - \frac{\hat{v} (s)}{R} + I_{L} \hat{d} (s) {\hat{i}}_{g} (s) = D {\hat{i}}_{L} (s) + I_{L} \hat{d} (s)

现在的局面是：我们有三个方程，但多了一个变量关系—— ${\hat{i}}_{L}$ 和 $\hat{d}$ 之间不再是单纯的状态导数关系，而是通过那个神秘的「黑盒子」——电流程序控制器——绑在了一起。

在这里，我们要引入本章最核心、也是最大胆的一个假设：

「在电流程序控制下，电感电流的平均值完全听从控制信号 $i_{c} (t)$ 的指挥。」

也就是说，我们假设控制器足够强力，以至于电感电流纹波小到可以忽略，或者控制系统足够稳定，以至于我们可以认为：

{\hat{i}}_{L} (s) \approx {\hat{i}}_{c} (s)

这个式子是整个「简单一阶模型」的灵魂。只要这个假设成立，电感电流就不再是独立的状态变量，它变成了一个受控源。

好了，现在我们把 ${\hat{i}}_{L} (s)$ 替换成 ${\hat{i}}_{c} (s)$ ，代入上面的第一个方程（电感电压方程），看看会发生什么。

s L {\hat{i}}_{c} (s) \approx D {\hat{v}}_{g} (s) + D^{'} \hat{v} (s) + (V_{g} - V) \hat{d} (s)

注意到了吗？这时候，只有 $\hat{d} (s)$ 是未知的（因为我们想表达的是控制信号 ${\hat{i}}_{c}$ 对占空比的调制逻辑）。我们把 $\hat{d} (s)$ 解出来：

\hat{d} (s) = \frac{s L {\hat{i}}_{c} (s) - D {\hat{v}}_{g} (s) - D^{'} \hat{v} (s)}{(V_{g} - V)}

这一步非常关键。

这不仅仅是代数变换。这个式子揭示了电流程序控制器的本质行为：占空比 $\hat{d}$ 不仅仅取决于你给的控制信号 ${\hat{i}}_{c}$ ，它还被迫要「补偿」输入电压 ${\hat{v}}_{g}$ 和输出电压 $\hat{v}$ 的扰动。 控制器在背后默默地干了很多活，而我们这个方程只是把它大白话说出来了。

现在我们手里有了 $\hat{d} (s)$ 的表达式，就可以把它扔回原来的方程组里，把 $\hat{d}$ 彻底消掉。我们代入第二个和第三个方程：

s C \hat{v} (s) = - D^{'} {\hat{i}}_{c} (s) - \frac{\hat{v} (s)}{R} + I_{L} [\frac{s L {\hat{i}}_{c} (s) - D {\hat{v}}_{g} (s) - D^{'} \hat{v} (s)}{(V_{g} - V)}] {\hat{i}}_{g} (s) = D {\hat{i}}_{c} (s) + I_{L} [\frac{s L {\hat{i}}_{c} (s) - D {\hat{v}}_{g} (s) - D^{'} \hat{v} (s)}{(V_{g} - V)}]

看起来有点乱？没关系，我们来整理一下。利用稳态关系式（比如 $V = - \frac{D}{D^{'}} V_{g}$ 和 $I_{L} = - \frac{V}{D^{'} R}$ ），我们可以把这些直流项替换掉，简化成标准形式。经过一番并不算复杂的代数折磨，我们得到了一组清爽的方程：

s C \hat{v} (s) = (\frac{s L D}{D^{'} R} - D^{'}) {\hat{i}}_{c} (s) - (\frac{D}{R} + \frac{1}{R}) \hat{v} (s) - (\frac{D^{2}}{D^{'} R}) {\hat{v}}_{g} (s) {\hat{i}}_{g} (s) = (\frac{s L D}{D^{'} R} + D) {\hat{i}}_{c} (s) - (\frac{D}{R}) \hat{v} (s) - (\frac{D^{2}}{D^{'} R}) {\hat{v}}_{g} (s)

这就是 CPM 下 Buck-Boost 变换器的小信号「宪法」。

我们可以把这两个方程画成电路。为什么是电路？因为电路工程师看方程头疼，看电路图亲切。

对于方程 (18.8)（输出端方程）， $s C \hat{v} (s)$ 是流过电容的电流。

${\hat{i}}_{c} (s)$ 项：这是一个受控电流源。
$\hat{v} (s) / R$ 项：这是负载电阻的电流。
$\hat{v} (s) D / R$ 项：这等效于一个电阻，阻值是 $R / D$ 。
${\hat{v}}_{g} (s)$ 项：这是一个依赖输入电压的受控电流源。

对于方程 (18.9)（输入端方程），描述的是输入电流 ${\hat{i}}_{g} (s)$ ：

同样包含一个受控于 ${\hat{i}}_{c} (s)$ 的电流源。
还有一个受控于 $\hat{v} (s)$ 的电流源。
最有意思的是 ${\hat{v}}_{g} (s)$ 这一项：系数是 $- D^{2} / D^{'} R$ 。这代表了一个负电阻！

把这些元件拼在一起，我们就得到了一个双口网络模型。

模型的回报：传递函数

现在模型建好了，回报来了。我们终于可以算一下这个系统的核心指标：控制到输出传递函数 $G_{v c} (s)$ 。这决定了我们电压环怎么设计。

为了求这个，我们把输入扰动 ${\hat{v}}_{g}$ 设为 0（短路）。解这个电路其实就是一个简单的节点电流法，结果直接列出来：

G_{vc}(s) = \frac{\hat{v}(s)}{\hat{i}_c(s)} \bigg|_{\hat{v}_g=0} = \frac{f_2 (r_2 \parallel R \parallel \frac{1}{sC})}

代入 Buck-Boost 的参数（ $f_{2} = - D$ ， $r_{2} = - D^{'} R / D^{2}$ ），我们算出：

G_{v c} (s) = - \frac{R}{D^{'}} \frac{1 - \frac{s D L}{D^{'}}}{1 + s R C}

停下来盯着这个式子看十秒钟。

发现了什么？

极点消失了：原本应该是二阶的系统（两个极点：一个在电感，一个在电容），现在只剩下一个由电容和负载电阻决定的一阶极点 ( $1 + s R C$ )。电感极点去哪了？因为它不再是独立状态变量了，它变成了电流源的附属品。
零点还在：那个令人讨厌的右半平面零点 ( $1 - s D L / D^{'}$ ) 还在。这是拓扑结构决定的，电流控制也救不了它。
增益变了：直流增益变成了 $R / D^{'}$ ，直接和负载电阻挂钩。

这就是「一阶模型」的含义。系统从二阶降维成一阶，设计电压环补偿器瞬间变得简单了许多。

那输入对输出的抑制能力呢？来看看 线电压到输出传递函数 $G_{v g} (s)$ 。

把控制输入 ${\hat{i}}_{c}$ 设为 0（开路），解电路得：

G_{vg}(s) = \frac{\hat{v}(s)}{\hat{v}_g(s)} \bigg|_{\hat{i}_c=0} = \frac{g_2 (r_2 \parallel R \parallel \frac{1}{sC})}

代入参数：

G_{v g} (s) = - \frac{D^{2}}{D^{' 2} (1 + D)} \frac{1}{1 + s R C}

同样，它也是一阶的。虽然这里的简单模型预测它不为零（更精确的模型会进一步抑制它），但相比电压模式控制，它已经被大幅削减了。

18.1.2 平均开关模型法：物理直观

代数推导虽然严谨，但有时候让人「知其然而不知其所以然」。我们换一种思路——平均开关模型——来重新审视一下这个东西。这种方法能把物理本质拍在你脸上。

还是看最经典的 Buck 变换器。我们在第 14 章学过，怎么把开关网络变成一个受控源。对于 CCM 模式下的 Buck 变换器，开关网络的端口平均电压电流关系是这样的：

⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}} = d (t) ⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} ⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = d (t) ⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}}

这里 $v_{1}$ 是输入电压， $v_{2}$ 是输出电压（指开关网络端口）， $i_{1}$ 是输入电流， $i_{2}$ 是输出电流。

现在，我们再次祭出那个核心假设：电流程序控制让电感电流（也就是端口电流 $i_{2}$ ）死死咬住控制信号 $i_{c}$ 。

⟨ i_{2} (t) ⟩_{T_{s}} \approx ⟨ i_{c} (t) ⟩_{T_{s}}

把这个代入上面的方程。注意，我们要把占空比 $d (t)$ 消掉，因为它现在是个中间变量，不再是直接控制量了。

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = d (t) ⟨ i_{c} (t) ⟩_{T_{s}}

又因为 $d (t) = ⟨ v_{2} ⟩ / ⟨ v_{1} ⟩$ ，所以：

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}}{⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}}} ⟨ i_{c} (t) ⟩_{T_{s}}

稍微变换一下形式：

⟨ i_{1} (t) ⟩_{T_{s}} ⟨ v_{1} (t) ⟩_{T_{s}} = ⟨ i_{c} (t) ⟩_{T_{s}} ⟨ v_{2} (t) ⟩_{T_{s}}

这不就是功率守恒吗？左边是开关网络输入端的吸收功率，右边是输出端（电流源）释放的功率。这说明电流程序控制的开关网络，本质上是一个无损功率传输器。

于是，我们就得到了一个极其优雅的等效电路：

输出端口：是一个电流源，值就是 $⟨ i_{c} (t) ⟩$ 。很简单，我们要它流多少，它就流多少。
输入端口：是一个功率汇。它从电源吸取的功率，严格等于输出端口电流源发出的功率。

为什么会有负电阻？

现在的模型是非线性的（因为有乘积项）。为了设计反馈环路，我们需要对它进行线性化（Perturbation & Linearization）。

设直流工作点为 $V_{1}, I_{1}, V_{2}, I_{c}$ ，叠加上小信号扰动 ${\hat{v}}_{1}, {\hat{i}}_{1}$ 等。

对于输出端电流源：

{\hat{i}}_{2} (s) = {\hat{i}}_{c} (s)

线性化结果很简单，就是一个受控电流源。

但对于输入端的功率源特性（ $P_{i n} = P_{o u t}$ ）：

(V_{1} + {\hat{v}}_{1}) (I_{1} + {\hat{i}}_{1}) = (I_{c} + {\hat{i}}_{c}) (V_{2} + {\hat{v}}_{2})

展开并舍去高阶小信号项（ $\hat{v} \cdot \hat{i}$ ），分离直流项和交流项。直流部分验证了功率平衡： $V_{1} I_{1} = I_{c} V_{2}$ 。

关键来了，看交流部分：

I_{1} {\hat{v}}_{1} + V_{1} {\hat{i}}_{1} = I_{c} {\hat{v}}_{2} + V_{2} {\hat{i}}_{c}

我们想求输入端口的小信号阻抗，也就是 ${\hat{i}}_{1}$ 和 ${\hat{v}}_{1}$ 的关系。把 ${\hat{i}}_{1}$ 解出来：

{\hat{i}}_{1} = \frac{V_{2}}{V_{1}} {\hat{i}}_{c} + \frac{I_{c}}{V_{1}} {\hat{v}}_{2} - \frac{I_{1}}{V_{1}} {\hat{v}}_{1}

利用稳态关系 $V_{2} = D V_{1}$ 和 $I_{1} = D I_{c}$ ，这一坨东西可以化简为：

{\hat{i}}_{1} = D {\hat{i}}_{c} + \frac{D}{R} {\hat{v}}_{2} - \frac{D^{2}}{R} {\hat{v}}_{1}

注意这里 ${\hat{v}}_{1}$ 的系数是负的（移项后看）。这意味着什么？这意味着 ${\hat{v}}_{1}$ 增加时， ${\hat{i}}_{1}$ 反而减小。这正是一个负电阻的特性！那个功率源特性曲线的斜率，就是负增量电阻的来源。

物理直觉：因为你要维持输入功率恒定（等于输出功率），如果输入电压升高了，输入电流就必须减小。这天然就构成了一种负阻抗特性。

继续推导，我们可以把 ${\hat{v}}_{2}$ 写成 $\hat{v} + {\hat{v}}_{L}$ ，最终整理出完整的功率级小信号模型。

你会发现，这个模型里，电感 $L$ 确实还在那里，但它和受控源 ${\hat{i}}_{c}$ 串联。对于计算输出电压 $\hat{v}$ 来说，电感上的电压只是内务，不改变流进电容的电流平均值（因为电流源已经定死了）。这就是为什么在传递函数 $G_{v c}$ 中，电感极点消失的物理原因。

踩坑提醒：电感极点「消失」是句话术，不是真的消失。它只是被推到了一个高频位置（后面 18.4 节会算出来，那个高频极点大约就落在开关频率 $f_{s}$ 附近）。所以一阶模型是有「有效期」的：只要你的电压环带宽远低于这个高频极点，它就靠谱；一旦你想把带宽推到接近 $f_{s}$ ，这个被藏起来的极点就会跳出来咬你。新手最爱犯的错，就是拿着一阶模型算出来的「无脑宽带宽」方案直接上板子，然后在示波器上看到莫名其妙的振铃。

本章小结

本节我们建立了一个「一阶模型」，它基于一个大胆的假设： $⟨ i_{L} ⟩ \approx i_{c}$ 。

这个模型虽然简单，但它已经揭示了电流程序控制最迷人的几个特质：

极点消除：系统从二阶变一阶，电压环设计变得简单。
前馈效应：控制器会自动调整占空比来抵消输入电压波动。
负阻抗：从输入端看进去，变换器表现得像一个负电阻。

但模型太简单也是有代价的。我们扔掉了一些细节——比如电感电流的纹波，比如那个在占空比大于 0.5 时会出来捣乱的「次谐波振荡」。这些问题，我们在下一节里再谈。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

第 18 章 电流程序控制：当电感失去独立人格 ​

18.1 简单一阶模型 ​

18.1.1 代数推导法：Buck-Boost 示例 ​

模型的回报：传递函数 ​

18.1.2 平均开关模型法：物理直观 ​

为什么会有负电阻？ ​