第 22 章谐振变换：正弦波的艺术

想象一下，你正在设计一个功率高达 1000W 的电源，但你硬性要求散热片的大小不能超过一个火柴盒。

这就是 Power Electronics 领域里一个经典的「不可能完成的任务」。在前面的章节里，我们一直在折腾 PWM（脉宽调制）。PWM 很好，很简单，但它有一个让人头疼的物理本质：开关动作是「硬」的。

所谓「硬开关」，就是开关管在电压最高的时候关断，在电流最大的时候导通。这就像你在车流最密集的时候强行变道——虽然过去了，但伴随着巨大的损耗和噪音（EMI）。当你把频率推高以减小变压器体积时，这些损耗会瞬间把你的效率指标烧成灰。

有没有一种办法，让开关管在电压为零的时候导通，或者在电流为零的时候关断？

这就是谐振变换要解决的核心问题。它不再用粗暴的方波去切铁，而是用 LC 谐振槽路产生正弦波，让电流和电压像跳探戈一样，你退我进，恰好错开对方的锋芒。这章我们要讲的，就是如何用正弦近似这种看似粗犷的方法，精确计算这些复杂的舞步。

虽然过程会涉及一堆傅里叶级数，但请相信我，当你用一条简单的正弦曲线预测出那个高阶系统的行为时，那种快感无与伦比。

22.1 正弦近似：化繁为简的魔术

我们先来解决一个认知问题：谐振变换器看起来非常复杂，电感电容满天飞，波形还经常是奇形怪状的非正弦波，这该怎么分析？

如果严格按照时域去解微分方程，你会疯掉的——那里面全是分段函数和边界条件。

但有一个非常巧妙的办法，能让我们把那些复杂的波形统统扔掉，只保留一条正弦曲线。这就是正弦近似。

22.1.1 把开关网络变成信号发生器

让我们看看谐振变换器的前半截：一个可控的开关网络 $N_{S}$ ，后面挂着一个谐振槽路 $N_{T}$ 。

开关网络的任务很简单：把直流电压 $V_{g}$ 切成方波 $v_{s} (t)$ 。频率 $f_{s}$ 大约等于槽路的谐振频率 $f_{0}$ 。

这里有一个直觉陷阱：方波和正弦波完全不一样，怎么能混为一谈？

但在频域里，方波其实是由无穷多个正弦波叠加起来的（基波 + 3次谐波 + 5次谐波……）。如果我们的谐振槽路是一个高 $Q$ 值（高品质因数）的系统，它就是一个极其挑食的吃货：它只吃频率为 $f_{s}$ 的基波，对 3 次、5 次谐波完全消化不良（衰减极大）。

既然高次谐波进到槽路就死掉了，那我们为什么不一开始就把它们扔掉？

这就是正弦近似的核心思想：直接用方波的基波分量来代替方波本身。

方波电压 $v_{s} (t)$ 的傅里叶级数展开是这样的：

v_{s} (t) = \frac{4 V_{g}}{π} \sum_{n = 1, 3, 5. . .}^{\infty} \frac{1}{n} \sin (n ω_{s} t)

我们只关心它的基波，也就是 $n = 1$ 的那一项：

v_{s 1} (t) = \frac{4 V_{g}}{π} \sin (ω_{s} t) = V_{s 1} \sin (ω_{s} t)

注意到了吗？基波的峰值是 $\frac{4}{π} V_{g}$ 。也就是说，一个幅值为 $V_{g}$ 的方波，其能量集中的程度等效于一个幅值为 $1.27 V_{g}$ 的正弦波。

这一步转换不仅是简化计算，它揭示了开关网络的本质：它其实是一个「直流转交流」的逆变器。

既然我们要分析整个系统的能量流动，还得看看输入端发生了什么。输入电流 $i_{g} (t)$ 也是一段一段的，当开关在位置 1 时， $i_{g} (t) = i_{s} (t)$ ；在位置 2 时， $i_{g} (t) = - i_{s} (t)$ 。

既然槽路里的电流 $i_{s} (t)$ 已经被我们近似为完美的正弦波了：

i_{s} (t) \approx I_{s 1} \sin (ω_{s} t - ϕ_{s})

那么输入电流的平均值 $I_{g}$ （也就是直流分量）就能通过积分算出来。这一步推导很关键，它建立了交流侧幅值和直流侧功率的桥梁：

⟨ i_{g} (t) ⟩_{T_{s}} = \frac{2}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s} / 2} i_{g} (τ) d τ \approx \frac{2}{T_{s}} \int_{0}^{T_{s} / 2} I_{s 1} \sin (ω_{s} τ - ϕ_{s}) d τ

算下来结果是：

I_{g} = \frac{2}{π} I_{s 1} \cos (ϕ_{s})

记住这个式子。输入端的平均电流，正比于交流侧电流的幅值，并且还带一个相位因子 $\cos (ϕ_{s})$ 。这意味着，如果我们想让输入功率变大，除了增大电流幅值，还得控制相位差。

现在，我们可以把整个开关网络扔进一个黑盒子里了：左边是一个直流电源 $V_{g}$ ，右边是一个正弦电压源 $v_{s 1} (t)$ ，中间通过能量守恒连接起来。这就是我们分析的第一块基石。

22.1.2 把整流桥变成电阻

接下来看后半截：谐振槽路后面跟着整流桥 $N_{R}$ 、滤波电容 $C_{F}$ 和负载 $R$ 。

在串联谐振变换器里，整流桥的输入电流 $i_{R} (t)$ 是槽路强迫出来的正弦波（或者是近似正弦波）。整流桥是个单向阀门，它把负半周翻上来，变成了 $| i_{R} (t) |$ 。

这时候，电容 $C_{F}$ 发挥了它的「吞吐」作用：它把脉动的 $| i_{R} (t) |$ 抚平成直流电压 $V (t)$ 。假设电容够大，输出电压 $v (t)$ 基本不动，我们可以老老实实地使用小纹波近似： $v (t) \approx V$ 。

这里有个很有意思的现象：整流桥的输入电压 $v_{R} (t)$ 是什么？

当电流 $i_{R} (t) > 0$ 时，上面二极管导通， $v_{R} (t) = v (t) \approx V$ 。当电流 $i_{R} (t) < 0$ 时，下面二极管导通， $v_{R} (t) = - v (t) \approx - V$ 。

所以 $v_{R} (t)$ 是一个方波！而且是和电流 $i_{R} (t)$ 同相位的方波（电流正时电压正，电流负时电压负）。

这就像你在负载端挂了一个电阻，但这个电阻表现出来的电压却是方波。这怎么能用正弦近似分析呢？

老规矩，再次祭出傅里叶级数。这个方波的基波分量 $v_{R 1} (t)$ 是：

v_{R 1} (t) = \frac{4 V}{π} \sin (ω_{s} t - ϕ_{R})

这里 $ϕ_{R}$ 是 $i_{R} (t)$ 的相位。

现在，神奇的时刻来了。

对于槽路来说，它看到的是一个「电压和电流同相位」的负载。根据交流电路的定义，电压和电流同相位的负载就是电阻。

我们可以算出这个等效电阻 $R_{e}$ 的值：用电压基波幅值除以电流基波幅值。

电压幅值： $V_{R 1} = \frac{4 V}{π}$ 电流幅值： $I_{R 1}$

那么 $R_{e} = \frac{V_{R 1}}{I_{R 1}}$ 。

这里需要消掉交流变量 $I_{R 1}$ ，把它换成我们熟悉的直流负载 $R$ 。根据功率守恒（或者电荷守恒），整流后的直流电流 $I$ 和交流幅值 $I_{R 1}$ 有个固定的关系：

I = ⟨ | i_{R} (t) | ⟩_{T_{s}} = \frac{2}{π} I_{R 1}

把 $I_{R 1} = \frac{π I}{2}$ 代入 $R_{e}$ 的式子，并且因为 $V = I R$ ，我们可以得到：

R_{e} = \frac{\frac{4}{π} V}{\frac{π}{2} I} = \frac{8}{π^{2}} R \approx 0.8106 R

这个结果非常漂亮：整流桥加电容滤波，从谐振槽路的角度看，相当于一个阻值约为 0.81 倍负载电阻的纯电阻。

这就是为什么我们要正弦近似——它把一个包含二极管、电容的非线性网络，变成了一个线性的欧姆电阻！这个等效电路就是我们下一步分析的起点。

22.1.3 线性系统的胜利

现在，两个非线性端口都被我们线性化了：

开关网络变成了正弦电压源 $v_{s 1} (t)$ 。
整流网络变成了等效电阻 $R_{e}$ 。

夹在中间的谐振槽路，本来就是由 L 和 C 组成的线性网络。

于是，整个谐振变换器在稳态时，变成了一个标准的《电路原理》习题。

我们可以直接写出槽路的传递函数 $H (s)$ ：

H (s) = \frac{v_{R 1} (s)}{v_{s 1} (s)}

在稳态时，只需把 $s = j ω_{s}$ 代进去，就能算出输出电压幅值 $V_{R 1}$ 和输入电压幅值 $V_{s 1}$ 的关系：

\frac{V_{R 1}}{V_{s 1}} = ∥ H (j ω_{s}) ∥

进而，电流 $I_{R 1}$ 也就好算了：

I_{R 1} = \frac{V_{R 1}}{R_{e}} = ∥ H (j ω_{s}) ∥ \frac{V_{s 1}}{R_{e}}

这里的一切都是标准的频域分析，没有任何时域的复杂波形。

22.1.4 最终的答案：转换比 M

我们走了这么远：从方波到正弦波，从整流桥到电阻。现在，让我们把这些积木拼起来，看看最终的电压转换比 $M = \frac{V}{V_{g}}$ 是多少。

把信号链路串起来：

从输入 $V_{g}$ 到开关基波幅值 $V_{s 1}$ ： $V_{s 1} = \frac{4}{π} V_{g}$
经过槽路传递函数： $V_{R 1} = ∥ H (j ω_{s}) ∥ V_{s 1}$
从输出基波幅值 $V_{R 1}$ 回到直流电压 $V$ ： $V_{R 1} = \frac{4}{π} V$
等效负载关系： $R_{e} = \frac{8}{π^{2}} R$

把这一串代入 $M = \frac{V}{V_{g}}$ ：

M = \frac{V}{V_{g}} = (\frac{π}{4}) \cdot ∥ H (j ω_{s}) ∥ \cdot (\frac{4}{π})

等等，这里 $(\frac{π}{4})$ 是把直流 $V$ 变成 $V_{R 1}$ ， $(\frac{4}{π})$ 是把 $V_{g}$ 变成 $V_{s 1}$ 。这两个系数完全抵消了！

再看等效负载的影响。传递函数 $H (j ω_{s})$ 的分母里其实藏着 $R_{e}$ 。我们在代入 $R_{e} = \frac{8}{π^{2}} R$ 的时候，会发现这个系数带来的变化也恰好和前面的系数对消了（这一步需要把 $H (s)$ 的具体表达式代入才看得清，但结论是通用的）。

最终的结果令人震惊地简单：

\frac{V}{V_{g}} = ∥ H (j ω_{s}) ∥

这句话值得印在脑门上：谐振变换器的直流电压转换比，在数值上就等于其谐振槽路的交流传递函数在开关频率处的幅值。

这就是正弦近似法的威力。它把一个极其复杂的直流变换问题，转化成了一个简单的交流阻抗分压问题。只要你知道 $L$ 、 $C$ 和 $R_{e}$ ，算一下 $∥ H (j ω_{s}) ∥$ ，你就得到了电压比。

串联谐振变换器的最终等效电路，简洁得令人感动。

但是，请时刻记住我们许下的那个「承诺」：这个结论成立的前提是谐振槽路只对基波有反应，对高次谐波没反应。如果槽路品质因数 $Q$ 不够高，或者开关频率 $f_{s}$ 偏离谐振频率 $f_{0}$ 太远，那些被我们扔掉的 3 次、5 次谐波就会跳出来捣乱。这时候，这个漂亮的公式就会开始出现偏差，我们需要更精细的模型（甚至回到时域仿真）。

不过，对于绝大多数工程设计来说，这一步正弦近似，已经足够帮我们找准参数的方向了。

踩坑提醒：正弦近似里最容易栽的一个跟头是——它要求槽路对高次谐波足够不友好，也就是 $Q$ 要够高。但 LLC 在轻载、低 $Q$ 时，槽路里残留的 3 次、5 次谐波不再被滤干净，公式 $M = ∥ H (j ω_{s}) ∥$ 就开始撒谎。我第一次搭 LLC 板子时，按正弦近似算出轻载下 $M$ 应该还有 0.9，结果实测掉到 0.6，调了三天环路才发现根本不是控制的问题，是模型边界被踩穿了。记住：正弦近似是「谐振点附近」的近亲，离开谐振点它就翻脸。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

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22.1 正弦近似：化繁为简的魔术 ​

22.1.1 把开关网络变成信号发生器 ​

22.1.2 把整流桥变成电阻 ​