13.3 实例：运放 PD（比例微分）补偿电路

上一节我们像推导数学公式那样，一步步拆解了闭环增益 $G$ 的通用表达式。现在，理论工具箱已经满了，是时候把它砸到一个真正的工程问题上了。

这一节，我们来看一个经典的运算放大器电路——PD 补偿器（Proportional-Derivative Compensator）。你可能在无数篇电源设计的论文里见过它，但这一节我们要做的，不是简单地套用“虚地”口诀算出传递函数，而是要把它的骨头架子拆开，看看当运放不够完美时，反馈回路的内部到底发生了什么。

这不仅仅是算题。我们即将看到的，是一个教科书式的“理想设计”是如何在“现实器件”的攻击下开始摇摇欲坠的。

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13.3.1 从理想模型到“有缺陷”的模型

先在脑子里把这个电路搭起来：一个我们熟悉的 PD 补偿器结构。在《电路原理》课本里，如果你假设运放是理想的，这个电路就是一个标准的超前-滞后网络。它在反馈回路里用来提升相位裕度，作用就像在系统濒临振荡时推一把。

但“理想运放”这个词，在工程里是个陷阱。

为了搞清楚现实会发生什么，我们把那个完美的三角形符号换成一个更诚实的等效模型。

• 输入阻抗不再是无穷大（虽然很大），但这里我们依旧假设它是无穷大，以便专注核心问题。
• 关键在于输出端。我们用了一个戴维南等效电路来建模输出：一个电压源 $G_{op}(s)(v_{+}-v_{-})$ 串联了一个输出电阻 $R_o$。这 50 欧姆的 $R_o$，就是一切麻烦的源头。

这个运放的开环增益 $G_{op}(s)$ 不是无限的，而是一个单极点系统：

$$G_{op}(s)=\frac{G_{op0}}{1+\frac{s}{{\omega }_1}}$$

看着这个式子，你会发现：

• 直流增益 $G_{op0}$ 很大（${10}^5$，即 100 dB）。
• 在 $f_1=10\text{ Hz}$ 处有一个极点。
• 这意味着，频率超过 10 Hz 后，增益就开始以 -20dB/dec 的速度滚降。
• 穿越频率（增益降到 0dB 的点）在 1 MHz。

我们手里的元件参数如下：

• 运放参数：$G_{op0}={10}^5$， $f_1=10\text{ Hz}$， $R_o=50\mathrm{\Omega }$。
• 外围电路：$R_1=1.6\text{k}\mathrm{\Omega }$， $R_2=16\mathrm{\Omega }$， $R_L=100\mathrm{\Omega }$， $R_3=1.6\text{k}\mathrm{\Omega }$， $C=0.1\mu \text{F}$。

把这个非理想模型塞进原来的电路里，就得到了接下来要解剖的对象。下面用反馈定理把它一层层剖开。

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13.3.2 第一步：寻找误差信号与理想正向增益 $G_{\mathrm{\infty }}$

应用反馈定理的第一步，是找到一个“理想注入点”。对于运放电路，误差信号是什么？是差模输入电压 $(v_{+}-v_{-})$。

当 $(v_{+}-v_{-})$ 为零时，电路进入“虚地”状态，也就是完美的理想状态。

在这套带戴维南输出的模型里，受控电压源紧跟着就是那个增益因子 $G_{op}(s)$。如果我们在这个电压源之后（也就是 $v_y$ 处）注入电压，那么 $v_y$ 将直接正比于误差信号。这就是完美的注入点。

现在我们来求 $G_{\mathrm{\infty }}(s)$——也就是假设环路增益无穷大、误差信号被置零时的理想增益。

这里有一个经典的解题技巧（Null Double Injection）： 要想轻松算出 $G_{\mathrm{\infty }}$，必须先从“Null（置零）”条件出发，而不是硬解电路方程。

假设： 我们在输入端加了信号，但通过某种手段把注入点电压 $v_y$ 置零了。 推导：

1. 如果 $v_y=0$，那么受控源 $-G_{op}{v}_{-}$ 也必须为 0（因为它是 $v_y$ 的一部分）。
2. 既然 $G_{op}$ 不是 0，那只能是 $v_{-}=0$。
3. $v_{-}=0$ 意味着什么？意味着 $R_1$ 和 $C$ 的连接点被强制拉到了地。这就是你熟悉的“虚地”！

现在的电路变得异常简单：

• 电流 $i_f$ 从 $v_{in}$ 流经 $R_1$、$R_2$ 和 $C$ 到地（因为 $v_{-}=0$）。

  $$i_f=-\frac{v_{in}}{R_2+\frac{1}{R_1||sC}}=-\frac{v_{in}}{\frac{R_2+\frac{1}{sC}\cdot R_1}{R_1+\frac{1}{sC}}}$$

  经过化简（具体代数步骤留给练习），分子分母同乘 $sC$，你会发现分母变成了 $R_2+R_1+\frac{1}{sC}$ ... 不对，更简单的看法是并联导纳。 我们直接看结果式子 (13.46) 给出的形式：

  $$i_f=-\frac{v_{in}}{R_2+(R_1||\frac{1}{sC})}$$

  这条支路的阻抗是 $Z=R_2+\frac{R_1\frac{1}{sC}}{R_1+\frac{1}{sC}}=\frac{R_1{R}_{2}sC+R_1+R_2}{R_{1}sC+1}$。 我们暂且保留阻抗概念，继续看输出。

• 输出电压 $v_{out}$ 是怎么来的？$v_{-}=0$，电流 $i_f$ 流过 $R_3$。

  $$v_{out}=0+i_f{R}_3$$

所以，理想增益 $G_{\mathrm{\infty }}$ 就是：

$$G_{\mathrm{\infty }}(s)=-\frac{R_3}{R_2+(R_1||\frac{1}{sC})}$$

化简这个式子，得到标准的 PD 补偿器形式：

$$G_{\mathrm{\infty }}=-\frac{R_3}{R_1}\frac{1+s(R_1+R_2)C}{1+s{R}_{2}C}$$

你看，这就是教科书上的公式。 它的分母有一个极点（由 $R_2,C$ 决定），分子有一个零点（由 $R_1+R_2,C$ 决定）。 代入数值：

• 直流增益 $G_{\mathrm{\infty }0}=-\frac{1.6k}{1.6k}=-1$ (0 dB)。
• 零点频率 $f_2=\frac{1}{2\pi (R_1+R_2)C}\approx 1\text{ kHz}$。
• 极点频率 $f_3=\frac{1}{2\pi R_{2}C}\approx 100\text{ kHz}$。

这就是它的幅频特性的形状：在 1 kHz 处开始上升（+20dB/dec），在 100 kHz 处变平。这是一个完美的 PD 补偿曲线，用来提升系统在 10 kHz 附近的相位，原本是再好不过了。

如果运放真的是理想的，故事到这里就结束了。 但记住，我们刚才计算的 $G_{\mathrm{\infty }}$ 是建立在“误差信号为 0”这个假设上的。现实里，运放必须靠非零的误差信号来驱动输出。而这个“非零”的误差信号有多大，取决于环路增益 $T(s)$。

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13.3.3 第二步：计算环路增益 $T(s)$

接下来，我们要把输入 $v_{in}$ 置零（短路），断开环路，看信号绕一圈能被放大多少倍。 具体做法是：在 $v_x$ 处加信号，测量 $v_y$。这两个位置的比值就是环路增益 $T(s)$。

我们可以分段来看：

1. 从 $v_x$ 到 $v_{out}$：这是一个电阻分压。$v_x$ 经过 $R_o$ 和 $R_L$ 分压。$$\frac{v_{out}}{v_x}=\frac{R_L}{R_L+R_o}$$
2. 从 $v_{out}$ 到 $v_{-}$：这是反馈网络。$v_{out}$ 经过 $R_3$、$(R_1+R_2||C)$ 分压。$$\frac{v_{-}}{v_{out}}=\frac{R_1||(\frac{1}{sC}+R_2)}{R_3+R_1||(\frac{1}{sC}+R_2)}$$这里稍微有点绕，注意阻抗关系。
3. 从 $v_{-}$ 到 $v_y$：这就是运放的开环增益 $-G_{op}(s)$。

把这三段乘起来，就得到了 $T(s)$ 的原始表达式（13.54）。这个式子看起来非常复杂，充满了 $sC$ 和电阻的纠缠。 别急着化简。 这时候如果硬做代数化简，你很容易掉进坑里。我们用上一节提到的互易关系（Reciprocity Relationship）。既然 $T=T_n\frac{G_0}{G_{\mathrm{\infty }}}$，我们可以先算出简单的 $G_0$ 和 $T_n$，最后再来拼凑 $T$。这比直接硬算要聪明得多。

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13.3.4 第三步：直接正向传输 $G_0$ —— 绕过运放的那条路

$G_0$ 是什么？是当我们把环路增益 $T$ 置零（即把受控源 $v_y$ 置零，也就是把运放输出短路掉）时，输入直接“漏”到输出的增益。

操作步骤：

1. 假设注入源 $v_y$ 被调节，使得 $v_x=0$。这意味着受控源 $-G_{op}{v}_{-}$ 不起作用，等效于短路。
2. 此时，运放的输出电阻 $R_o$ 直接并联在负载 $R_L$ 上。
3. 信号从 $v_{in}$ 进来，经过 $R_1,C,R_2$，再经过 $R_3$，最后在 $R_o||R_L$ 上输出。

这纯粹是一个无源电阻网络。 经过代数化简，式子 (13.57) 给出了结果：

$$G_0(s)=\frac{R_o||R_L}{R_o||R_L+R_3+(R_1||(R_2+\frac{1}{sC}))}$$

写成标准形式：

$$G_0=G_{00}\frac{1+\frac{s}{{\omega }_2}}{1+\frac{s}{{\omega }_4}}$$

• $G_{00}\approx 0.0103$ (-39.7 dB)。非常小。
• 它在 $f_2=1\text{ kHz}$ 处有一个零点，在 $f_4\approx 1.93\text{ kHz}$ 处有一个极点。

$G_0$ 的幅频特性也值得一提：它的幅值非常小（-40 dB 左右）。在通常的音频或工频应用中，这个“漏过去的信号”完全可以忽略不计。 但是，别忘了我们在算 $T$。这个微小的 $G_0$ 在互易公式里可是至关重要的。

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13.3.5 第五步：空环路增益 $T_n$ —— 绕过负载的那条路

按照互易关系，最后我们要求 $T_n$。 定义： 输入 $v_{in}$ 存在，我们调节注入源 $v_z$，使得输出 $v_{out}$ 强制为 0（Null）。在这种状态下，测量 $v_y/v_x$。

这种状态下发生了什么？

1. $v_{out}=0$。意味着负载 $R_L$ 两端电压为 0。
2. 既然 $R_L$ 上没电压，那就没电流流过 $R_L$。
3. 运放的输出电流 $i_f$ 全部流进了 $R_3$。

这带来了巨大的简化：

• 运放输出电流 $i_f=\frac{v_x}{R_o}$（因为 $v_x$ 也就是 $R_o$ 前面的电压，此时运放输出电压被强制，但分析电流路径时 $v_x$ 是源头）。等等，仔细看电流路径：$v_x$ 直接加在 $R_o$ 上。因为 $v_{out}=0$，$R_o$ 右边接地。所以 $i_f=v_x/R_o$。
• 这个电流流过 $R_3$，产生 $v_{-}$ 电压（注意方向）：$$v_{-}=-i_f{R}_3$$
• $v_y$ 是什么？就是运放增益乘以 $v_{-}$：$$v_y=G_{op}(s)v_{-}=G_{op}(s)(-\frac{v_x}{R_o}{R}_3)$$
• 所以：$$T_n(s)=\frac{v_y}{v_x}=-\frac{R_3}{R_o}{G}_{op}(s)$$

这太漂亮了。 $T_n$ 的表达式里，除了运放自己的极点，没有任何其他的极点或零点！ 这就是 Null Double Injection 的威力：它把电路的动态特性从复杂的拓扑中剥离出来了。

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13.3.6 拼图完成：真正的环路增益 $T(s)$

现在我们有了所有的拼图：

• $G_{\mathrm{\infty }}$：理想增益（PD 形状）。
• $G_0$：直接传输（极小，但在计算中有用）。
• $T_n$：空环路增益（极简形式，只含运放极点）。

根据互易关系：

$$T=T_n\frac{G_0}{G_{\mathrm{\infty }}}$$

把这三个量代入，经过一番代数运算（注意那个负号，相位会反转），我们终于得到了环路增益 $T(s)$ 的因式分解形式（13.66）：

$$T(s)=T_0\frac{1+\frac{s}{{\omega }_2}}{(1+\frac{s}{{\omega }_1})(1+\frac{s}{{\omega }_4})}$$

这里的关键频率点：

• 直流增益 $T_0$：33000 (90.7 dB)。这是一个非常高的数值。
• 极点 ${\omega }_1$：这就是运放原本的主极点 (10 Hz)。
• 极点 ${\omega }_4$：来自 $G_0$ 的极点 (1.93 kHz)。
• 零点 ${\omega }_2$：来自反馈网络 (1 kHz)。

现在把这个环路增益的波特图在脑子里画出来。 仔细看这条曲线，你会发现一个非常有意思的现象，也是整个问题的核心转折点：

1. 从 10 Hz 开始，增益以 -20dB/dec 下降（这是运放的主极点在起作用）。
2. 到了 1 kHz 左右，零点 ${\omega }_2$ 出现，曲线变平，相位开始回升。
3. 但是！ 紧接着在 1.93 kHz，极点 ${\omega }_4$ 降临。
4. 曲线再次以 -20dB/dec 下降。相位开始剧烈下跌。
5. 直到 100 kHz 处，那个来自 $G_{\mathrm{\infty }}$ 分母的极点 ${\omega }_3$ 本该出现，但现在它被掩盖在了曲线下方。

穿越频率 $f_c$ 是多少？ 利用图中渐近线估算： 在 1.93 kHz 到 100 kHz 之间，斜率是 -20dB/dec。

$$|T|\approx T_0\frac{\omega /{\omega }_2}{\omega /{\omega }_1\cdot \omega /{\omega }_4}=T_0\frac{{\omega }_1{\omega }_4}{{\omega }_2\omega }$$

令 $|T|=1$，解得 $f_c\approx 25.2\text{ kHz}$。

注意这个位置：25 kHz。 它恰好位于两个极点（1.93 kHz）和一个零点（100 kHz）之间。

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13.3.7 崩塌的相位裕度

现在我们来算相位裕度（Phase Margin）。 在 $f_c=25.2\text{ kHz}$ 处：

• 极点 $f_1$ (10 Hz) 和极点 $f_4$ (1.9 kHz) 贡献了接近 -180° 的相移。
• 零点 $f_3$ (100 kHz) 距离 $f_c$ 还有点远，只能拉回一点点相位。

计算结果（式 13.72）：

$$\mathrm{\angle }T(25\text{ kHz})\approx -{165.8}^{\circ }$$

相位裕度 ${\varphi }_m$ 只有：

$${\varphi }_m={180}^{\circ }-{165.8}^{\circ }={14.2}^{\circ }$$

14.2 度。

这是个危险数字。对于一个闭环系统来说，这意味着当你试图用这个 PD 补偿器去修正主电路的相位时，你自己先制造了一个高 Q 值的振荡源。 根据式 (13.74)，对应的 Q 值高达 4（也就是 12 dB）！

踩坑提醒：这种「PM 看着还行、一上板就振」的事在电源调试台天天发生。套路是这样的——你照着理想 $G_{\mathrm{\infty }}$ 把零点放好，仿真里相位裕度 45° 漂漂亮亮；可一焊上真实的运放，那个被 $R_o$ 和有限 GBW 偷偷塞进来的高频极点 ${\omega }_4$ 直接把穿越区里的相位再砍一刀。教训：仿真一定要把运放的开环输出阻抗和带宽模型加进去，光用理想三角形符号，你看到的裕度是假的。

为什么会这样？ 我们回头看那个“理想”的 $G_{\mathrm{\infty }}$。它原本是一个完美的 PD 补偿，零点在 1 kHz，极点在 100 kHz。 但因为运放不够快（$R_o$ 的存在以及有限的带宽），真实的环路增益 $T$ 在 1.9 kHz 处多冒出了一个极点 $f_4$。 正是这个隐形的极点，把相位狠狠地踩了一脚，导致在 25 kHz 处相位几乎翻转。

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13.3.8 闭环传递函数 $G(s)$ —— 谁说了算？

最后，我们看一眼闭环传递函数 $G(s)$。 根据公式：

$$G=G_{\mathrm{\infty }}\frac{T}{1+T}+G_0\frac{1}{1+T}$$

把结果画出来就是这样：

• 在低频段，$T$ 很大，$\frac{T}{1+T}\approx 1$。所以 $G\approx G_{\mathrm{\infty }}$。这符合我们的预期，运放工作得很好。
• 但在 25 kHz 附近，也就是 $f_c$ 处，由于相位裕度太小，$\frac{T}{1+T}$ 这一项表现出剧烈的尖峰。这就意味着，闭环传递函数在这里会出现共振。

这就是结局： 你以为你在设计一个截止频率为 100 kHz 的补偿器，但实际上，你的补偿器在 25 kHz 就开始振铃。 如果把这个电路扔到一个开关电源环路里，那个 25 kHz 的尖峰可能会直接搞垮整个系统的稳定性。

怎么修？ 回头看式子。问题的根源在于极点 $f_4$ 出现得太早了，或者说穿越频率 $f_c$ 太高了。 唯一的办法是提升运放的带宽（GBW）。如果你能把运放的穿越频率从 1 MHz 提升到 4 MHz，整个 $T(s)$ 的曲线会向上平移，把实际的穿越频率 $f_c$ 推到更右边，让那个讨厌的极点 $f_4$ 远离穿越区。

这不仅是计算，这是教训。 当我们拿着“虚地”这个简化工具到处用时，往往会忘记它背后的前提：环路增益无穷大。一旦器件带宽受限，那个被简化的世界就会崩塌，而反馈定理，正是那个能让我们看清崩塌细节的放大镜。

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参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。