n-EET 实战演练 | 硬件学习笔记

16.4 n-EET 实战演练

上一节我们打磨好了 n-EET 这把「手术刀」：把高阶传递函数拆解成 N 次简单的电阻电路分析。

刀在手，接下来就该上案台了。这一节我们找两个经典的「硬骨头」来练手——一个四级 LC 滤波器，一个 Bridge-T 滤波器。你会发现，面对这种让你头皮发麻的高阶电路，只要按照流程一步步走，结果其实呼之欲出。

16.4.1 双节 LC 滤波器：当复杂度变成单纯的体力活

想象一个双节 LC 滤波器：输入 $v_{1}$ 经电感 $L_{1}$ 到中间节点，第一级电容 $C_{1}$ 从该节点接到地；再经电感 $L_{2}$ 到输出 $v_{2}$ ，第二级电容 $C_{2}$ 从输出接到地，负载电阻 $R$ 也并在 $C_{2}$ 两端。

这玩意儿有四个储能元件：两个电感，两个电容。按照直觉，这是一个四阶系统，传递函数 $G (s) = v_{2} (s) / v_{1} (s)$ 会有四个极点。高频段呢？电感开路，电容短路，每一级都在切信号，所以增益以 -80 dB/decade 的速度往下跌——这意味着没有零点。

既然这样，我们直接可以写出传递函数的骨架：

G (s) = \frac{1}{1 + b_{1} s + b_{2} s^{2} + b_{3} s^{3} + b_{4} s^{4}} (16.74)

直流增益很好算：电感短路，电容开路，输入直接连通输出，增益是 1。现在的任务就是搞定分母里的这四个系数。

分母的暴力拆解

我们要找的是分母 $D (s)$ 。按照 n-EET 的规矩，先把输入电压 $v_{1}$ 短路（置零），电路就退化成一个纯无源网络。现在我们有四个端口需要去测驱动点阻抗。

我先把结果列表甩在前面，然后我们挑几个关键的来拆解一下这背后的逻辑。你可以把这理解成在做一个「电路体格检查」，每次体检只关注一个端口，把其他无关的元件统统变成直连线（短路）或者断路（开路）。

测 $R_{a}$ ：一切从简单开始

先看一阶项里的 $s L_{1} / R_{a}$ 。这时候，我们在看 Port a，剩下的 Port b (L2), Port c (C1), Port d (C2) 都得回到它们的直流状态：电感短路，电容开路。

于是：L2 短接了地线，C1、C2 直接不见了。从 Port a 往里看，是不是只剩下一个电阻 R 挂在那？

所以：

R_{a} = R

这就完事了。剩下的一阶项 $s L_{2} / R_{b}$ 也是同理，你可以自己验证一下， $R_{b}$ 也是 $R$ 。

测 $R_{b - a}$ ：开始出现转折

一阶项好算，二阶项就开始有点意思了。我们来看这一项：

s^{2} \frac{L_{1}}{R_{a}} \frac{L_{2}}{R_{b - a}} (16.75)

这里有个 $R_{b - a}$ 。注意下标，这是说：我们在 Port b 测电阻，但是 Port a 的那个元件 $L_{1}$ 得处于高频状态（也就是开路）。剩下的 C1、C2 还是老规矩，直流开路。

把 L1 断开，C1、C2 也没影儿。这时候从 Port b 往里看……看到什么都没有？对，端口是悬空的。

这意味着：

R_{b - a} = \infty

这一项直接没了。这就是为什么在最终的公式里，某些组合项会神奇地消失——不是因为数学魔法，是因为电路拓扑本身就不通。

避坑：不要在零上做文章

推导三阶项时，教科书给了一个非常有价值的警告。

如果你想直接套用刚才那个二阶项的结果：

s^{3} \frac{L_{1}}{R_{a}} \frac{L_{2}}{R_{b - a}} \frac{C_{1}}{R_{c - a b}}

你会傻眼。因为 $R_{b - a} = \infty$ ，这一项算出来是未定式。千万别往死胡同里钻。

遇到这种情况，立刻换个路子。回过头去看刚才的结果列表，找一个不为零的二阶项作为跳板。比如：

s^{2} \frac{L_{1}}{R_{a}} C_{1} R_{c - a}

这一项是存在的。那我们的三阶项就可以基于这个二阶项继续扩张，变成：

s^{3} \frac{L_{1}}{R_{a}} C_{1} R_{c - a} \frac{L_{2}}{R_{b - a c}}

现在的任务是求 $R_{b - a c}$ 。条件是：L1 和 C1 在高频状态（开路和短路），C2 在直流状态（开路）。

L1 断开，C1 短接了下方的 L2。这时候从 Port b 往里看，就看到了那个对地的电阻 $R$ 。

所以：

R_{b - a c} = R

这就是推高阶项的诀窍：步步为营，永远基于上一个成功的台阶往上爬。

终局：四阶项

既然三阶项通了，四阶项也就顺水推舟：

s^{4} \frac{L_{1}}{R_{a}} C_{1} R_{c - a} \frac{L_{2}}{R_{b - a c}} C_{2} R_{d - a b c}

求 $R_{d - a b c}$ 时，Port a, b, c 的元件都在高频态。L1 开，L2 开，C1 短。这时候从 Port d 的电容 C2 往回看，是不是又看到了那个唯一的电阻 $R$ ？

R_{d - a b c} = R

拼图完成

把这些算出来的电阻值填回去，你会发现很多项因为 0 或者 $\infty$ 而消失了，剩下的就是精华：

G (s) = \frac{1}{1 + s \frac{L_{1} + L_{2}}{R} + s^{2} [L_{1} (C_{1} + C_{2}) + L_{2} C_{2}] + s^{3} \frac{L_{1} L_{2} C_{1}}{R} + s^{4} L_{1} L_{2} C_{1} C_{2}} (16.77)

看，一个复杂的四阶滤波器，它的传递函数就是这样被我们像拼积木一样拼出来的。只要没算错电阻，这个结果绝对靠谱。

16.4.2 Bridge-T 滤波器：当零点介入

下面换个口味，来看看 Bridge-T 滤波器：输入 $v_{1}$ 一路通过 $R_{1}$ 、 $C_{1}$ 到输出 $v_{2}$ ，负载 $R_{3}$ 并在输出端； $C_{2}$ 则跨接在输入侧某个节点与输出之间， $R_{2}$ 串在 $C_{2}$ 支路上。

这玩意儿在教科书里出了名的难搞，因为那个 $C_{2}$ 搅得整个电路浑浑浊浊的，常规列方程式简直是噩梦。用 n-EET 的思路来想：两个电容，肯定有两个极点。高频时候 $C_{2}$ 短路，把输出直接连到了输入，增益变成了 1。既然高频增益不掉下来，那必须有两个零点把相位拉回来。

所以传递函数长这样：

G (s) = G_{d c} \frac{1 + a_{1} s + a_{2} s^{2}}{1 + b_{1} s + b_{2} s^{2}} (16.78)

这次我们要同时算分母（极点）和分子（零点）。

零点是怎么求的：Null Double Injection

求分子（零点）的时候，我们要用到上一节结尾提到的「双注入法（Null Double Injection）**，加个电流源 $i_{t e s t}$ 进去，然后调节输入电压，硬把输出 $v_{2}$ 扼杀成 0。

在这种「人为制造的零点状态」下，去测端口的电阻。为了区分，我们把分子里的电阻记为 $R_{N}$ ，分母里的电阻记为 $R_{D}$ 。

算 $R_{N a}$

先看 $C_{1}$ 所在的 Port a。把 $C_{2}$ （Port b）变成直流开路。我们在 Port a 注入电流，调节 $v_{1}$ 让 $v_{2} = 0$ 。

画起来有点抽象，但逻辑很简单：既然输出 $v_{2}$ 被 0 掉了，那 $R_{3}$ 上就没电流。 Port b 开路，所以 $R_{2}$ 上也没电流。没电流， $R_{2}$ 就没压降。那 $v_{t e s t}$ 点的电压自然也是 0。

结论：

R_{N a} = \frac{v_{t e s t}}{i_{t e s t}} = 0 (16.80)

这个 0 非常关键，它直接把分子的第一项 $s C_{1} R_{N a}$ 给砍掉了。

算 $R_{N b}$

再看 $C_{2}$ 所在的 Port b。把 $C_{1}$ （Port a）开路。注入电流，调节 $v_{1}$ 让 $v_{2} = 0$ 。

$v_{2} = 0$ 导致 $R_{3}$ 没电流。那测试电流 $i_{t e s t}$ 全部流哪去了？只能流过 $R_{2}$ 和 $R_{1}$ 。

所以：

R_{N b} = R_{1} + R_{2} (16.81)

算 $R_{N a - b}$

最后是二阶项。我们在 Port a 注入电流，但把 Port b 的电容短路（高频态）。这时候有个很有意思的现象：因为 Port b 短路把输入输出连一块了，要让输出 $v_{2}$ 为 0，输入 $v_{1}$ 本身必须得是 0。

$v_{1} = 0$ ，电源变成一根短路线。那 $i_{t e s t}$ 就流过 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 的并联。

所以：

R_{N a - b} = R_{1} ∥ R_{2} (16.82)

把这三项拼起来，分子就出来了：

n u m e r a t o r = 1 + s C_{2} (R_{1} + R_{2}) + s^{2} C_{1} C_{2} R_{1} R_{2} (16.83)

你看，零点项里根本没有 $C_{1}$ 的一次项（因为 $R_{N a} = 0$ ），这跟电路的物理特性是完全吻合的。

分母是怎么求的：老老实实短路输入

求分母（极点）就简单多了，不需要双注入，只需要把输入 $v_{1}$ 短路，然后测驱动点电阻 $R_{D}$ 。

算 $R_{D a}$

把 $C_{2}$ 开路，输入 $v_{1}$ 短路。从 Port a 往里看， $R_{1}$ 跟下面那串 $(R_{2} + R_{3})$ 并联。

所以：

R_{D a} = R_{1} ∥ (R_{2} + R_{3}) (16.85)

剩下的 $R_{D b}$ 和 $R_{D a - b}$ 留给你练手。只要理清了哪个该短路、哪个该开路，这就是个单纯的串并联问题。

这一节教给我们什么

通过这两个例子，其实我们已经触及了 Design-Oriented Analysis 的核心：它不让你去解那个庞大的方程组，而是让你在电路图上做「思维实验」。

对于双节 LC 滤波器：我们在 4 个端口上分别做了 10 次左右的电阻测量，每一次测量都只需要初中水平的欧姆定律。
对于 Bridge-T 滤波器：我们利用 Null Double Injection 的特殊条件，把那些令人困惑的零点项变成了直观的电压/电流关系。

这就是 n-EET 的威力。当你面对一个从未见过的变态拓扑时，只要你还能数得清阶数，找得着端口，你就敢写出它的传递函数。至于那个表达式是不是最简的？那是代数的事，先把工程解抓出来再说。

参考说明：参考自 geqianQWQ 同学阅读《Fundamentals of Power Electronics》的笔记，仅作理解线索；本文为结合自己理解重新整理的学习笔记，不涉及对原书的复制或翻译。

16.4 n-EET 实战演练 ​

16.4.1 双节 LC 滤波器：当复杂度变成单纯的体力活 ​

分母的暴力拆解 ​

测 Ra：一切从简单开始 ​

测 Rb−a：开始出现转折 ​

避坑：不要在零上做文章 ​

终局：四阶项 ​

拼图完成 ​

16.4.2 Bridge-T 滤波器：当零点介入 ​

零点是怎么求的：Null Double Injection ​

算 RNa ​

算 RNb ​

算 RNa−b ​

分母是怎么求的：老老实实短路输入 ​

算 RDa ​

这一节教给我们什么 ​